设实矩阵A=(aij)，Aij是aij的代数余子式，｜aij｜，｜Aij｜分别表示两个表达式的绝对值，则下列结论不正确的是( )

admin2021-04-16 106

问题设实矩阵A=(a_ij)，A_ij是a_ij的代数余子式，｜a_ij｜，｜A_ij｜分别表示两个表达式的绝对值，则下列结论不正确的是( )

选项 A、若A为正交矩阵且｜A｜=1，则对任意i，j，有｜a_ij｜=｜A_ij｜
B、若A为正交矩阵且｜A｜=-1，则对任意i，j，有｜a_ij｜=｜A_ij｜
C、若｜A｜=1且对任意i，j均有a_ij=-A_ij，则A为正交矩阵
D、若｜A｜=-1且对任意i，j均有a_ij=-A_ij，则A为正交矩阵

答案C

解析对于A，B，A是正交矩阵，则｜A｜=±1，若｜A｜=1，则A^*A=｜A｜E=E-A^TA，有A^*=A^T，故对任意i，j，有a_ij=A_ij，显然｜a_ij｜=｜A_ij｜；若｜A｜=1，则
由A^*A=｜A｜E=-E=-A^TA，有A^*=-A^T，故对任意i，j，有a_ij=A_ij，也会有
｜a_ij｜=｜A_ij｜，对于C，D，若｜A｜=1且对任意i，j，有a_ij=-A_ij，则
A^TA=-A^*A=-｜A｜E=-E，故A不是正交矩阵；
若｜A｜=-1且对任意i，j，有a_ij=-A_ij，则A^TA=-A^*A=-｜A｜E=E，故A是正交矩阵，选C。

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考研数学三

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