设α1,α2,…,αn-1是Rn中线性无关的向量组,β1,β2与α1,α2,…,αn-1正交,则( )

admin2019-06-06  36

问题 设α1,α2,…,αn-1是Rn中线性无关的向量组,β1,β2与α1,α2,…,αn-1正交,则(    )

选项 A、α1,α2,…,αn-1,β1必线性相关。
B、α1,α2,…,αn-1,β1,β2必线性无关。
C、β1,β2必线性相关。
D、β1,β2必线性无关。

答案C

解析 由n+1个n维向量必线性相关可知(B)选项错。
若αi(i=1,2,…,n一1)是第i个分量为1,其余分量全为0的向量,β1是第n个分量为1,其余分量全为0的向量,β2是第n个分量为2,其余分量全为0的向量,则α1,α2,…,αn-1,β1线性无关,β2=2β1,所以选项(A)和(D)错误。
下证(C)选项正确:
因α1,α2,…,αn-1,β1,β2必线性相关,所以存在n+1个不全为零的常数k1,k2,…,kn-1,l1,l2,使   
k1α1+k2α2+…+kn-1αn-1+l1β1+l2β2=0,
又因为α1,α2,…,αn-1线性无关,所以l1,l2一定不全为零,否则α1,α2,…,αn-1线性相关,产生矛盾。
在上式两端分别与β1,β2作内积,有
(l1β1+l2β2,β1)=0,    (1)
(l1β1+l2β2,β2)=0,    (2)
联立两式,l1×(1)+l2×(2)可得
(l1β1+l2β2,l1β1+l2β2)=0,
从而可得l1β1+l2β2=0,
故β1,β2必线性相关。故选(C)。
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