2. 考研
  3. 设f(x)在[0，1]上二阶可导，且｜f(x)｜≤a，｜f’’(x)｜≤b，其中a，b都是非负常数，c为 (0，1)内任意一点． (1)写出f(x)在x＝c处带Lagrange型余项的一阶泰勒公式； (2)证明：｜f’(c)｜≤2a＋．

设f(x)在[0，1]上二阶可导，且｜f(x)｜≤a，｜f’’(x)｜≤b，其中a，b都是非负常数，c为 (0，1)内任意一点． (1)写出f(x)在x＝c处带Lagrange型余项的一阶泰勒公式； (2)证明：｜f’(c)｜≤2a＋．

admin2018-01-23  89
问题 设f(x)在[0，1]上二阶可导，且｜f(x)｜≤a，｜f’’(x)｜≤b，其中a，b都是非负常数，c为
(0，1)内任意一点．
(1)写出f(x)在x＝c处带Lagrange型余项的一阶泰勒公式；
(2)证明：｜f’(c)｜≤2a＋．
选项
答案(1)f(x)＝f(c)＋f’(c)(x－c)＋[*](x－c)2，其中ξ介于c与x之间． (2)分别令x＝0，x＝1，得 f(0)＝f(c)－f’(c)c＋[*]c2，ξ1∈(0,c)， f(1)＝f(c)＋f’(c)(1－c)＋[*](1－c2)，ξ2∈(c,1)， 两式相减，得f’(c)＝f(1)－f(0)＋[*](1－c)2，利用已知条件，得 ｜f’(c)｜≤2a＋[*][c2＋(1－c)2]， 因为c2＋(1－c)2≤1，所以｜f’(c)｜≤2a＋[*]．
解析
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考研数学三

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