2. 考研
  3. 设函数y(x)(x≥0)二阶可导，且y’(x)＞0，y(0)=1。过曲线y=y(x)上任一点P(x，y)作该曲线的切线及x轴的垂线，上述两直线与x轴所围成的三角形面积记为S1，区间[0，x]上以y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为S2，且2S1－S2=1，

设函数y(x)(x≥0)二阶可导，且y’(x)＞0，y(0)=1。过曲线y=y(x)上任一点P(x，y)作该曲线的切线及x轴的垂线，上述两直线与x轴所围成的三角形面积记为S1，区间[0，x]上以y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为S2，且2S1－S2=1，

admin2018-12-27  38
问题 设函数y(x)(x≥0)二阶可导，且y’(x)＞0，y(0)=1。过曲线y=y(x)上任一点P(x，y)作该曲线的切线及x轴的垂线，上述两直线与x轴所围成的三角形面积记为S1，区间[0，x]上以y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为S2，且2S1－S2=1，求此曲线y=y(x)的方程。
选项
答案设曲线y=y(x)上点P(x，y)处的切线斜率为y’，则切线方程为 Y－y=y’(X－x)， 它与x轴交点为[*] [*] 由题设条件可知[*] 即[*] 上式两边对x求导并化简，得yy"－(y’)2=0，此为不显含x的可降阶方程，令y’=p，则[*]因此原方程化为 [*] 即[*]解得p=C1y。 (*)式中令x=0，得y’(0)=p(0)=1，代入p=C1y，得C1=1。 故p=y，即y’=y，解得y=ex。
解析
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考研数学一

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