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设函数y(x)(x≥0)二阶可导,且y’(x)>0,y(0)=1。过曲线y=y(x)上任一点P(x,y)作该曲线的切线及x轴的垂线,上述两直线与x轴所围成的三角形面积记为S1,区间[0,x]上以y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为S2,且2S1-S2=1,
设函数y(x)(x≥0)二阶可导,且y’(x)>0,y(0)=1。过曲线y=y(x)上任一点P(x,y)作该曲线的切线及x轴的垂线,上述两直线与x轴所围成的三角形面积记为S1,区间[0,x]上以y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为S2,且2S1-S2=1,
admin
2018-12-27
68
问题
设函数y(x)(x≥0)二阶可导,且y’(x)>0,y(0)=1。过曲线y=y(x)上任一点P(x,y)作该曲线的切线及x轴的垂线,上述两直线与x轴所围成的三角形面积记为S
1
,区间[0,x]上以y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为S
2
,且2S
1
-S
2
=1,求此曲线y=y(x)的方程。
选项
答案
设曲线y=y(x)上点P(x,y)处的切线斜率为y’,则切线方程为 Y-y=y’(X-x), 它与x轴交点为[*] [*] 由题设条件可知[*] 即[*] 上式两边对x求导并化简,得yy"-(y’)
2
=0,此为不显含x的可降阶方程,令y’=p,则[*]因此原方程化为 [*] 即[*]解得p=C
1
y。 (*)式中令x=0,得y’(0)=p(0)=1,代入p=C
1
y,得C
1
=1。 故p=y,即y’=y,解得y=e
x
。
解析
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考研数学一
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