已知三阶矩阵A的特征值为0，1，2。设B=A3一2A2，则r(B)=( )

admin2020-03-01 47

问题已知三阶矩阵A的特征值为0，1，2。设B=A³一2A²，则r(B)=( )

选项 A、1。
B、2。
C、3。
D、不能确定。

答案A

解析因为矩阵A有三个不同的特征值，所以A必能相似对角化，即存在可逆矩阵P，使得
P^－1AP=

，
于是
P^－1BP=P^－1(A³一2A²)P=P^－1A³P一2P^－1A²P=(P^－1AP)³一2(P^－1AP)²

则矩阵B的三个特征值分别为0，0，一1，故r(B)=1。所以选A。

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