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  3. [2011年] 设A为三阶实对称矩阵，A的秩为2，且 求A的所有特征值与特征向量；

[2011年] 设A为三阶实对称矩阵，A的秩为2，且 求A的所有特征值与特征向量；

admin2019-07-23  27
问题 [2011年]  设A为三阶实对称矩阵，A的秩为2，且

求A的所有特征值与特征向量；
选项
答案因A的秩为2，A又为实对称矩阵，故A可相似对角化，且其非零特征值，即其相似对角矩阵上的非零主对角元只有两个．因而0为A的一个特征值，由题设可得 A[1，0，一1]T=一[一1，0，1]T， A[1，0，1]=[1，0，1]T． 故λ1=一1是A的一个特征值，且属于一1的所有特征向量为 k1α1=k1[1，0，一1]T，其中k1为任意非零常数； λ2=1也是A的一个特征值，且属于λ2=1的所有特征向量为 k2α2=k2[1，0，1]T，其中k2为任意非零常数． 设[x1，x2，x3]T为A的属于特征值0的特征向量．由于A为实对称矩阵，则 [*] 即 [*] 由 [*] 知，属于0的所有特征向量为k3α3=k3[0，1，0]T，其中k3为任意非零常数．
解析
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考研数学一

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