设x，y，z∈R+。求u(x，y，z)=lnx+lny+31nz在球面x2+y2+z2=5R2上的最大值，并证明：当a＞0，b＞0，c＞0时，有 abc3≤27()5。

admin2018-11-22 39

问题设x，y，z∈R⁺。求u(x，y，z)=lnx+lny+31nz在球面x²+y²+z²=5R²上的最大值，并证明：当a＞0，b＞0，c＞0时，有
abc³≤27(

)⁵。

选项

答案构造拉格朗日函数r(x，y，z，λ)=lnx+lny+3lnz+λ(x²+y²+z²一5R²)，令 [*] 解得驻点(R，R，[*]R²)，于是有 lnxyz³≤ln([*]R⁵)，故 xyz³≤[*]，特别地，取x²=a，y²=b，z²=c，平方后即得 abc³≤27([*])⁵。

解析

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考研数学一

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