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  3. 设随机变量X在区间[－1，1]上服从均匀分布，随机变量(Ⅰ)Y＝，(Ⅱ)Y＝，试分别求出DY与Cov(X，Y)．

设随机变量X在区间[－1，1]上服从均匀分布，随机变量(Ⅰ)Y＝，(Ⅱ)Y＝，试分别求出DY与Cov(X，Y)．

admin2018-11-23  58
问题 设随机变量X在区间[－1，1]上服从均匀分布，随机变量(Ⅰ)Y＝，(Ⅱ)Y＝，试分别求出DY与Cov(X，Y)．
选项
答案显然Y是X的函数：Y＝g(X)，因此计算DY可以直接应用公式EY＝Eg(X)，或用定义计算． (Ⅰ)已知X～f(χ)＝[*] EY＝Eg(X)＝∫－∞＋∞g(χ)f(χ)dz＝∫－∞0(－1)f(χ)dχ＋∫0＋∞f(χ)dχ ＝[*]＝0， EY2＝Eg2(X)＝∫－∞＋∞g2(χ)f(χ)dχ＝∫－∞＋∞f(χ)dχ＝1， 故DY＝EY2－(EY)2＝1－0＝1． 或者EY＝1×P{Y＝1}＋0×P{Y＝0}＋(－1)×P{Y＝－1} ＝P{X＞0}－P{X＜0}＝[*]＝0， 又Y2＝[*]所以 DY＝EY2－(EY)2＝EY2＝P{X≠0}＝P{X＞0}＋P{X＜0}＝1， Cov(X，Y)＝EXY－BXEY＝EXY＝∫－∞＋∞χg(χ)f(χ)dχ＝[*]． (Ⅱ)由于Y＝[*]g(X)，故 [*] 又Cov(X，Y)＝EXY－EXEY，其中EX＝0， [*] 所以Cov(X，Y)＝1－[*]
解析
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考研数学一

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