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求函数f(χ,y)=χy-χ-y在由抛物线y=4-χ2(χ≥0)与两个坐标轴所围成的平面闭区域D上的最大值和最小值。
求函数f(χ,y)=χy-χ-y在由抛物线y=4-χ2(χ≥0)与两个坐标轴所围成的平面闭区域D上的最大值和最小值。
admin
2020-04-22
26
问题
求函数f(χ,y)=χy-
χ-y在由抛物线y=4-χ
2
(χ≥0)与两个坐标轴所围成的平面闭区域D上的最大值和最小值。
选项
答案
区域D如图2所示。 [*] (1)边界L
1
=y=0(0≤χ≤2),此时f(χ,0)=-[*]χ,函数在此边界的最大值为f(0,0)=0,最小值为f(2,0)=-[*]。 边界L
2
:χ=0(0≤y≤4),则f(0,y)=-y,函数在此边界的最大值为 f(0,0)=0,最小值为f(0,4)=-4。 边界L
3
:y=4-χ
2
(χ≥0),则 f(χ,y)=χy-[*]χ-y=χ(4-χ
2
)-[*]χ-(4-χ
2
), 令f′(χ)=-3χ
2
+2χ+[*]=0, 解得χ=-[*](舍去),χ=[*],又 f〞(χ)=-6χ+2,f〞([*])<0, 故该函数在此边界的最大值为[*] (2)区域D内部,f(χ,y)=χy-[*]χ-y,则 [*] 解得χ=1,y=[*], f〞
χχ
(χ,y)=0,f〞
χy
(χ,y)=1,f〞
yy
(χ,y)=0, 故AC-B
2
<0,函数在区域D内部不存在极值。 综上所述,函数在区域D上的最大值为f(0,0)=0;最小值为f(0,4)=-4。
解析
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考研数学一
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