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[2003年]设函数f(x)连续且恒大于零, 其中Ω(t)={(x,y,z)|x2+y2+z2≤t2},D(t)={(x,y)|x2+y2≤t2}. 证明当t>0时,F(t)>(2/π)G(t).
[2003年]设函数f(x)连续且恒大于零, 其中Ω(t)={(x,y,z)|x2+y2+z2≤t2},D(t)={(x,y)|x2+y2≤t2}. 证明当t>0时,F(t)>(2/π)G(t).
admin
2019-04-08
47
问题
[2003年]设函数f(x)连续且恒大于零,
其中Ω(t)={(x,y,z)|x
2
+y
2
+z
2
≤t
2
},D(t)={(x,y)|x
2
+y
2
≤t
2
}.
证明当t>0时,F(t)>(2/π)G(t).
选项
答案
F(t)一[*]=2{∫
0
t
f(r
2
)r
2
dr∫
0
t
f(r
2
)dr—[∫
0
t
f(r
2
)rdr]
2
}/[∫
0
1
f(r
2
)dr∫
0
1
rf(r
2
)dr]. 令g(t)=∫
0
t
f(r
2
)r
2
dr∫
0
t
f(r
2
)dr一[∫
0
t
rf(r
2
)dr]
2
,则g(0)=0.又因f(x)恒大于零,有 g’(t)=f(t
2
)t
2
∫
0
t
f(r
2
)dr+f(t
2
)∫
0
t
f(r
2
)r
2
dr一2f(t
2
)t∫
0
t
f(r
2
)rdr =f(t
2
)[∫
0
t
f(t
2
)t
2
dr+∫
0
t
f(r
2
)r
2
dr—2∫
0
t
f(r
2
)rtdr] =f(t
2
)∫
0
t
f(t
2
)(t
2
一2rt+r
2
)dr =f(t
2
)∫
0
t
f(t
2
)(t一r)
2
dr>0. 故g(t)在(0,+∞)内单调增加,又g(0)=0,所以当t>0时有g(t)>0,又∫
0
t
f(r
2
)dr∫
0
1
rf(r
2
)dr>0,故当t>0时 [*] 即[*]
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/VD04777K
0
考研数学一
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