2. 考研
  3. 设A是三阶矩阵，a1，a2，a3为三维列向量且a1≠0，若Aa1=a1，Aa1=a1+a2，Aa3=a2+a3． (Ⅰ)证明：向量组a1，a2，a3线性无关． (Ⅱ)证明：A不可相似对角化．

设A是三阶矩阵，a1，a2，a3为三维列向量且a1≠0，若Aa1=a1，Aa1=a1+a2，Aa3=a2+a3． (Ⅰ)证明：向量组a1，a2，a3线性无关． (Ⅱ)证明：A不可相似对角化．

admin2020-04-09  27
问题 设A是三阶矩阵，a1，a2，a3为三维列向量且a1≠0，若Aa1=a1，Aa1=a1+a2，Aa3=a2+a3．
(Ⅰ)证明：向量组a1，a2，a3线性无关．
(Ⅱ)证明：A不可相似对角化．
选项
答案(I)由Aa1=a1得(A—E)a1=0， 由Aa2一a1+a2得(A—E)a2=a1， 由Aa36=a2+a3得(A—E)a3=a2． 令 k1a1+k2a2+k3a3=0， 1) 两边左乘以(A－E)得k2a1+k3a2=0， 两边再左乘(A—E)得k3a1=0， 由a1≠0得k3=0，代人2)得k2a1=0，则k2=0， 再代人1)得k1a1=0，从而k1=0，于是a1，a2，a3线性无关． (Ⅱ)令P=(a1，a2，a3)， 由(Aa1，Aa2，Aa3)=(a1，a1+a2，a2+a3)得AP=P[*]， 从而[*] 由｜λE一A｜=｜λE一B｜一(λ一1)3=0得A的特征值为λ1=λ2=λ3=1， E—B=[*]，因为r(E－B)=2，所以B只有一个线性无关的特征向量，即B不可相似对角化，而A～B，故A不可相似对角化．
解析
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考研数学三

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