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设A是三阶矩阵,a1,a2,a3为三维列向量且a1≠0,若Aa1=a1,Aa1=a1+a2,Aa3=a2+a3. (Ⅰ)证明:向量组a1,a2,a3线性无关. (Ⅱ)证明:A不可相似对角化.
设A是三阶矩阵,a1,a2,a3为三维列向量且a1≠0,若Aa1=a1,Aa1=a1+a2,Aa3=a2+a3. (Ⅰ)证明:向量组a1,a2,a3线性无关. (Ⅱ)证明:A不可相似对角化.
admin
2020-04-09
26
问题
设A是三阶矩阵,a
1
,a
2
,a
3
为三维列向量且a
1
≠0,若Aa
1
=a
1
,Aa
1
=a
1
+a
2
,Aa
3
=a
2
+a
3
.
(Ⅰ)证明:向量组a
1
,a
2
,a
3
线性无关.
(Ⅱ)证明:A不可相似对角化.
选项
答案
(I)由Aa
1
=a
1
得(A—E)a
1
=0, 由Aa
2
一a
1
+a
2
得(A—E)a
2
=a
1
, 由Aa
36
=a
2
+a
3
得(A—E)a
3
=a
2
. 令 k
1
a
1
+k
2
a
2
+k
3
a
3
=0, 1) 两边左乘以(A-E)得k
2
a
1
+k
3
a
2
=0, 两边再左乘(A—E)得k
3
a
1
=0, 由a
1
≠0得k
3
=0,代人2)得k
2
a
1
=0,则k
2
=0, 再代人1)得k
1
a
1
=0,从而k
1
=0,于是a
1
,a
2
,a
3
线性无关. (Ⅱ)令P=(a
1
,a
2
,a
3
), 由(Aa
1
,Aa
2
,Aa
3
)=(a
1
,a
1
+a
2
,a
2
+a
3
)得AP=P[*], 从而[*] 由|λE一A|=|λE一B|一(λ一1)
3
=0得A的特征值为λ
1
=λ
2
=λ
3
=1, E—B=[*],因为r(E-B)=2,所以B只有一个线性无关的特征向量,即B不可相似对角化,而A~B,故A不可相似对角化.
解析
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考研数学三
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