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设A是三阶矩阵，a1，a2，a3为三维列向量且a1≠0，若Aa1=a1，Aa1=a1+a2，Aa3=a2+a3． (Ⅰ)证明：向量组a1，a2，a3线性无关． (Ⅱ)证明：A不可相似对角化．
设A是三阶矩阵，a1，a2，a3为三维列向量且a1≠0，若Aa1=a1，Aa1=a1+a2，Aa3=a2+a3． (Ⅰ)证明：向量组a1，a2，a3线性无关． (Ⅱ)证明：A不可相似对角化．
admin
2020-04-09
21
问题
设A是三阶矩阵，a
1
，a
2
，a
3
为三维列向量且a
1
≠0，若Aa
1
=a
1
，Aa
1
=a
1
+a
2
，Aa
3
=a
2
+a
3
．
(Ⅰ)证明：向量组a
1
，a
2
，a
3
线性无关．
(Ⅱ)证明：A不可相似对角化．
选项
答案
(I)由Aa
1
=a
1
得(A—E)a
1
=0， 由Aa
2
一a
1
+a
2
得(A—E)a
2
=a
1
， 由Aa
36
=a
2
+a
3
得(A—E)a
3
=a
2
． 令 k
1
a
1
+k
2
a
2
+k
3
a
3
=0， 1) 两边左乘以(A－E)得k
2
a
1
+k
3
a
2
=0， 两边再左乘(A—E)得k
3
a
1
=0， 由a
1
≠0得k
3
=0，代人2)得k
2
a
1
=0，则k
2
=0， 再代人1)得k
1
a
1
=0，从而k
1
=0，于是a
1
，a
2
，a
3
线性无关． (Ⅱ)令P=(a
1
，a
2
，a
3
)， 由(Aa
1
，Aa
2
，Aa
3
)=(a
1
，a
1
+a
2
，a
2
+a
3
)得AP=P[*]， 从而[*] 由｜λE一A｜=｜λE一B｜一(λ一1)
3
=0得A的特征值为λ
1
=λ
2
=λ
3
=1， E—B=[*]，因为r(E－B)=2，所以B只有一个线性无关的特征向量，即B不可相似对角化，而A～B，故A不可相似对角化．
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/r9x4777K
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考研数学三
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