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已知函数f(x)满足方程f”(x)+f’(x)一2f(x)=0及f”(x)+f(x)=2ex, (1)求f(x)的表达式; (2)求曲线y=f(x2)∫0xf(-t2)dt的拐点.
已知函数f(x)满足方程f”(x)+f’(x)一2f(x)=0及f”(x)+f(x)=2ex, (1)求f(x)的表达式; (2)求曲线y=f(x2)∫0xf(-t2)dt的拐点.
admin
2019-03-12
64
问题
已知函数f(x)满足方程f”(x)+f’(x)一2f(x)=0及f”(x)+f(x)=2e
x
,
(1)求f(x)的表达式;
(2)求曲线y=f(x
2
)∫
0
x
f(-t
2
)dt的拐点.
选项
答案
(1)齐次微分方程f”(x)+f’(x)一f(x)=0的特征方程为r
2
+r一2=0,特征根为r
1
=1,r
2
=-2, 所以其通解为 f(x)=C
1
e
x
+C
2
e
-2x
. 再由 f”(x)+f(x)=2e
x
得 2C
1
e
x
+5C
2
e
-2x
=2e
x
, 比较函数可得 C
1
=1,C
2
=0. 故 f(x)=e
x
[*] 令y”=0得x=0. 为了说明x=0是y”=0唯一的解,我们来讨论y”在x>0和x<0时的符号. 当x>0时, [*] 可知y”>0; 当x<0时, [*] 可知y”<0; 因此x=0是y”=0唯一的解. 同时,由上述讨论可知曲线 y=f(x
2
)∫
0
x
f(-t
2
)dt, 在x=0左右两边的凹凸性相反,可知(0,0)点是曲线y=f(x
2
)∫
0
2
f(一t
2
)dt唯一的拐点.
解析
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0
考研数学三
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