设f(x)二阶可导，且∫0xf(t)dt+∫0x(x一t)dt=x+1，求f(x)．

admin2016-09-30 54

问题设f(x)二阶可导，且∫₀^xf(t)dt+∫₀^x(x一t)dt=x+1，求f(x)．

选项

答案∫₀^xtf(x一t)dt[*]x∫₀^xf(u)du一∫₀^xuf(u)du=x∫₀^xf(t)dt一∫₀^xtf(t)dt， ∫₀^xf(t)dt+∫₀^xtf(x一t)dt=x+1可化为∫₀^xf(x)dt+x∫₀^xf(t)dt一∫₀^xtf(t)dt=x+1，两边求导得f(x)+∫₀^xf(t)dt=1，两边再求导得f’(x)+f(x)=0，解得(x)=Ce^一x，因为f(0)=1，所以C=1，故f(x)=e^一x．

解析

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