设矩阵，则A与B( )

admin2018-04-12 34

问题设矩阵

，则A与B( )

选项 A、合同，且相似。
B、合同，但不相似。
C、不合同，但相似。
D、既不合同，也不相似。

答案B

解析方法一：由｜λE一A｜=(λ一3)²λ=0得A的特征值为0，3，3，而B的特征值为0，1，1，从而A与B不相似。又r(A)=r(B)=2，且A，B有相同的正惯性指数，因此A与B合同。故选B。
方法二：因为tr(A)=2+2+2=6，tr(B)=1+1=2≠6，所以A与B不相似(不满足相似的必要条件)。又｜λE一A｜=λ(λ一3)²，｜λE一B｜=λ(λ一1)²，A与B是同阶实对称矩阵，其秩相等，且有相同的正惯性指数，故A与B合同。

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