求下列曲面积分 I=(x2－y2)dydz+(y2－z2)dzdx+(z2－x2)dxdy，S是=1(z≥0)的上侧．

admin2018-06-15 55

问题求下列曲面积分
I=

(x²－y²)dydz+(y²－z²)dzdx+(z²－x²)dxdy，S是

=1(z≥0)的上侧．

选项

答案用高斯公式来计算．曲面不封闭，添加辅助面。 S₁：z=0，[*]≤1，取下侧．S与S₁围成Ω． (Ⅰ)记I₁=[*]Pdydz+Qdzdx+Rdxdy，因为S₁与yz平面及zx平面垂直，且S₁上z=0，所以 [*] =a³b∫₀^π／2sin²2tdt=a³b／2sin²tdt=a³b／4π． (Ⅱ)在Ω上用高斯公式．注意Ω关于yz平面与zx平面对称， [*] (Ⅱ)I=1／2πabc²－I₁=1／2πabc²－[*]πa³b=1／4πab(2c²－a²)．

解析

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考研数学一

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