求下列曲面积分 I=(x2-y2)dydz+(y2-z2)dzdx+(z2-x2)dxdy,S是=1(z≥0)的上侧.

admin2018-06-15  22

问题 求下列曲面积分
I=(x2-y2)dydz+(y2-z2)dzdx+(z2-x2)dxdy,S是=1(z≥0)的上侧.

选项

答案用高斯公式来计算.曲面不封闭,添加辅助面。 S1:z=0,[*]≤1,取下侧.S与S1围成Ω. (Ⅰ)记I1=[*]Pdydz+Qdzdx+Rdxdy,因为S1与yz平面及zx平面垂直,且S1上z=0,所以 [*] =a3b∫0π/2sin22tdt=a3b/2sin2tdt=a3b/4π. (Ⅱ)在Ω上用高斯公式.注意Ω关于yz平面与zx平面对称, [*] (Ⅱ)I=1/2πabc2-I1=1/2πabc2-[*]πa3b=1/4πab(2c2-a2).

解析
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