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已知向量组 (I)α1=,α2=,α3= (Ⅱ)β1=,β2=,β3=, 若向量组(I)和向量组(Ⅱ)等价,求α的取值,并将β3用α1,α2,α3,线性表示.
已知向量组 (I)α1=,α2=,α3= (Ⅱ)β1=,β2=,β3=, 若向量组(I)和向量组(Ⅱ)等价,求α的取值,并将β3用α1,α2,α3,线性表示.
admin
2022-09-22
84
问题
已知向量组
(I)α
1
=
,α
2
=
,α
3
=
(Ⅱ)β
1
=
,β
2
=
,β
3
=
,
若向量组(I)和向量组(Ⅱ)等价,求α的取值,并将β
3
用α
1
,α
2
,α
3
,线性表示.
选项
答案
由等价的定义可知β
1
,β
2
,β
3
都能由α
1
,α
2
,α
3
线性表示,则有 r(α
1
,α
2
,α
3
)=r(α
1
,α
2
,α
3
,β
1
,β
2
,β
3
). 对(α
1
,α
2
,α
3
,β
1
,β
2
,β
3
)作初等行变换可得: (α
1
,α
2
,α
3
,β
1
,β
2
,β
3
)=[*] 当a=-1时,有r(α
1
,α
2
,α
3
)<r(α
1
,α
2
,α
3
,β
1
,β
2
,β
3
); 当a=1时,有r(α
1
,α
2
,α
3
)=r(α
1
,α
2
,α
3
,β
1
,β
2
,β
3
)=2; 当a≠1且a≠-1时,有r(α
1
,α
2
,α
3
)=r(α
1
,α
2
,α
3
,β
1
,β
2
,β
3
)=3; 则当a=1或a≠1且a≠-1时,β
1
,β
2
,β
3
可由α
1
,α
2
,α
3
线性表示. 此时,要保证α
1
,α
2
,α
3
可由β
1
,β
2
,β
3
线性表示, 对(β
1
,β
2
,β
3
,α
1
,α
2
,α
3
)作初等行变换可得 [*] 当a=1时,有r(α
1
,α
2
,α
3
)=r(α
1
,α
2
,α
3
,β
1
,β
2
,β
3
)=2; 当a≠1且a≠-1时,有r(α
1
,α
2
,α
3
)=r(α
1
,α
2
,α
3
,β
1
,β
2
,β
3
)=3; 此时,α
1
,α
2
,α
3
可由β
1
,β
2
,β
3
线性表示, 综上所述,当a≠-1时,向量组α
1
,α
2
,α
3
与向量组β
1
,β
2
,β
3
可相互线性表示. 当a≠±1时,(α
1
,α
2
,α
3
,β
3
)→[*] 则β
3
=α
1
-α
2
+α
3
. 当a=1时,(α
1
,α
2
,α
3
,β
3
)→[*] 基础解系为[*](k∈R),则β
3
=(3-2k)α
1
+(k-2)α
2
+kα
3
.
解析
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考研数学二
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