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  3. 已知向量组 (I)α1=，α2=，α3= (Ⅱ)β1=，β2=，β3=， 若向量组(I)和向量组(Ⅱ)等价，求α的取值，并将β3用α1，α2，α3，线性表示．

已知向量组 (I)α1=，α2=，α3= (Ⅱ)β1=，β2=，β3=， 若向量组(I)和向量组(Ⅱ)等价，求α的取值，并将β3用α1，α2，α3，线性表示．

admin2022-09-22  29
问题 已知向量组
    (I)α1=，α2=，α3=
    (Ⅱ)β1=，β2=，β3=，
    若向量组(I)和向量组(Ⅱ)等价，求α的取值，并将β3用α1，α2，α3，线性表示．
选项
答案由等价的定义可知β1，β2，β3都能由α1，α2，α3线性表示，则有 r(α1，α2，α3)=r(α1，α2，α3，β1，β2，β3)． 对(α1，α2，α3，β1，β2，β3)作初等行变换可得： (α1，α2，α3，β1，β2，β3)=[*] 当a=-1时，有r(α1，α2，α3)＜r(α1，α2，α3，β1，β2，β3)； 当a=1时，有r(α1，α2，α3)=r(α1，α2，α3，β1，β2，β3)=2； 当a≠1且a≠-1时，有r(α1，α2，α3)=r(α1，α2，α3，β1，β2，β3)=3； 则当a=1或a≠1且a≠-1时，β1，β2，β3可由α1，α2，α3线性表示． 此时，要保证α1，α2，α3可由β1，β2，β3线性表示， 对(β1，β2，β3，α1，α2，α3)作初等行变换可得 [*] 当a=1时，有r(α1，α2，α3)=r(α1，α2，α3，β1，β2，β3)=2； 当a≠1且a≠-1时，有r(α1，α2，α3)=r(α1，α2，α3，β1，β2，β3)=3； 此时，α1，α2，α3可由β1，β2，β3线性表示， 综上所述，当a≠-1时，向量组α1，α2，α3与向量组β1，β2，β3可相互线性表示． 当a≠±1时，(α1，α2，α3，β3)→[*] 则β3=α1-α2+α3． 当a=1时，(α1，α2，α3，β3)→[*] 基础解系为[*](k∈R)，则β3=(3-2k)α1+(k-2)α2+kα3．
解析
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考研数学二

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