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  3. 设函数f(x)在[0，x]上连续，且．试证：在(0，π)内至少存在两个不同的点ξ1和ξ2，使f(ξ1)=f(ξ2)=0．

设函数f(x)在[0，x]上连续，且．试证：在(0，π)内至少存在两个不同的点ξ1和ξ2，使f(ξ1)=f(ξ2)=0．

admin2015-09-10  74
问题 设函数f(x)在[0，x]上连续，且．试证：在(0，π)内至少存在两个不同的点ξ1和ξ2，使f(ξ1)=f(ξ2)=0．
选项
答案令[*]，则F(0)=F(π)=0 又[*] 所以存在ξ∈(0，π)，使F(ξ)sinξ=0，因若不然，则在(0，π)内或F(x)sinx恒为正，或F(x)sinx恒为负，均与[*]矛盾．但当ξ∈(0，π)时，sinξ≠0，故F(ξ)=0． 由此证得F(0)=F(ξ)=F(π)=0 (0＜ξ＜π) 再对F(x)在[0，ξ]和[ξ，π]上分别应用罗尔中值定理，知至少存在ξ1∈(0，ξ)，ξ2∈(ξ，π)，使 F’(ξ1)=F’(ξ2)=0 即 f(ξ1)=f(ξ2)=0
解析
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考研数学一

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