2. 考研
  3. 设f(x)在(-∞，+∞)连续，以T为周期，令F(x)=∫0xf(x)dt，求证： (Ⅰ)F(x)一定能表示成：F(x)=kx+φ(x)，其中k为某常数，φ(x)是以T为周期的周期函数； (Ⅱ)∫0xf(t)dt=∫0Tf(x)dx； (Ⅲ)若又有f(x)

设f(x)在(-∞，+∞)连续，以T为周期，令F(x)=∫0xf(x)dt，求证： (Ⅰ)F(x)一定能表示成：F(x)=kx+φ(x)，其中k为某常数，φ(x)是以T为周期的周期函数； (Ⅱ)∫0xf(t)dt=∫0Tf(x)dx； (Ⅲ)若又有f(x)

admin2021-11-09  49
问题 设f(x)在(-∞，+∞)连续，以T为周期，令F(x)=∫0xf(x)dt，求证：
(Ⅰ)F(x)一定能表示成：F(x)=kx+φ(x)，其中k为某常数，φ(x)是以T为周期的周期函数；
(Ⅱ)∫0xf(t)dt=∫0Tf(x)dx；
(Ⅲ)若又有f(x)≥0(x∈(-∞，+∞))，n为自然数，则当nT≤x＜(n+1)T时，有
n∫0Tf(x)dx≤∫0xf(t)dt＜∫0T(n+1)f(x)dx.
选项
答案(Ⅰ)即确定常数k，使得φ(x)=F(x)-kx以T为周期．由于 φ(x+T)=F(x+T)-k(x+T)=∫0xf(x)dt-kx+∫0x+Tf(t)dt-kT =φ(x)+∫0Tf(t)dt-kT， 因此，取k=[*]∫0Tf(t)dt，φ(x)=F(x)-kx,则φ(x)是以T为周期的周期函数．此时 F(x)=[ [*]∫0Tf(t)dt]x+φ(x). (Ⅱ)不能用洛必达法则．因为[*]不存在，也不为∞．但∫0x(t)dt可表示成 ∫0x(t)dt=[*]∫0Tf(t)dt+φ(x)． φ(x)在(-∞，+∞)连续且以T为周期，于是，φ(x)在[0，T]有界，在(-∞，+∞)也有界．因此 [*] (Ⅲ)因f(x)≥0，所以当nT≤x＜(n+1)T时， n∫0Tf(t)dt=∫0nTf(t)≤∫0xf(t)＜∫0(n+1)Tf(t)dt=(n+1)∫0Tf(t)
解析
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考研数学二

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