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设二次型 f(x1,x2,x3)=xTAx=ax12+2x12一2x32+2bx1x3,(b>0) 其中A的特征值之和为1,特征值之积为一12. 用正交变换化f(x1,x2,x3)为标准型.
设二次型 f(x1,x2,x3)=xTAx=ax12+2x12一2x32+2bx1x3,(b>0) 其中A的特征值之和为1,特征值之积为一12. 用正交变换化f(x1,x2,x3)为标准型.
admin
2017-10-21
27
问题
设二次型
f(x
1
,x
2
,x
3
)=x
T
Ax=ax
1
2
+2x
1
2
一2x
3
2
+2bx
1
x
3
,(b>0)
其中A的特征值之和为1,特征值之积为一12.
用正交变换化f(x
1
,x
2
,x
3
)为标准型.
选项
答案
[*] 得A的特征值为2(二重)和一3(一重). 对特征值2求两个单位正交的特征向量,即(A一2E)X=0的非零解. [*] 得(A一2E)X=0的同解方程组x
1
一2x
3
=0,求出基础解系η
1
=(0,1,0)
T
,η
2
=(2,0,1)
T
.它们正交, 单位化:α
1
=η
1
,α
2
=[*] 方程x
1
一2x
3
=0的系数向量(1,0,一2)
T
和η
1
,η
2
都正交,是属于一3的一个特征向量,单位化得 [*] 作正交矩阵Q=(α
1
,α
2
,α
3
),则 [*] 作正交变换X=QY,则它把f化为Y的二次型f=2y
1
2
+2y
2
2
一3y
3
2
.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/rOH4777K
0
考研数学三
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