2. 考研
  3. 设f(x)在闭区间[0，c]上连续，其导数f’(x)在开区间(0，c)内存在且单调递减，f(0)=0．试证明： f(a+b)≤f(a)+f(b)， 其中常数a，b满足条件0≤a≤b≤a+b≤c．

设f(x)在闭区间[0，c]上连续，其导数f’(x)在开区间(0，c)内存在且单调递减，f(0)=0．试证明： f(a+b)≤f(a)+f(b)， 其中常数a，b满足条件0≤a≤b≤a+b≤c．

admin2019-04-22  49
问题 设f(x)在闭区间[0，c]上连续，其导数f’(x)在开区间(0，c)内存在且单调递减，f(0)=0．试证明：
                      f(a+b)≤f(a)+f(b)，
其中常数a，b满足条件0≤a≤b≤a+b≤c．
选项
答案方法一 用拉格朗日中值定理． 当a=0时，等号成立． 当a＞0时，因f(x)在区间[0，a]及[b，a+b]上满足拉格朗日中值定理，所以存在ξ1∈(0，a)， ξ0∈(b，a+b)，ξ1＜ξ2，使得 |f(a+b)一f(b)]一[f(a)一f(0)]=af’(ξ2)一af’(ξ1)． 因为f’(x)在(0，c)内单调递减，所以f’(ξ2)≤f’(ξ1)，于是 [f(a+b)一f(b)]一[f(a)一f(0)]≤0， 即f(a+b)≤f(a)+f(b)． 方法二 用函数的单调性． 将f(a+b)一f(b)一f(a)中的b改写为x，构造辅助函数 F(x)=f(a+x)一f(x)一f(a)，x∈[0，b]， 显然F(0)=0，又因为f’(x)在(0，c)内单调递减，所以 F’(x)=f’(a+x)一f’(x)≤0， 于是有F(b)≤F(0)=0，即f(a+b)一f(b)一f(a)≤0，即f(a+b)≤f(a)+f(b)．
解析
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考研数学二

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