两台同样的自动记录仪，每台无故障工作的时间服从参数为5的指数分布．先开动其中一台，当其发生故障时停用而另一台自动开动．试求两台自动记录仪无故障工作的总时间T的概率密度f(t)、数学期望和方差．

admin2019-06-25 82

问题两台同样的自动记录仪，每台无故障工作的时间服从参数为5的指数分布．先开动其中一台，当其发生故障时停用而另一台自动开动．试求两台自动记录仪无故障工作的总时间T的概率密度f(t)、数学期望和方差．

选项

答案设第i台自动记录仪无故障工作的时间为X_i，(i＝1，2)，由题意，X₁与X₂独立同分布，概率密度为 [*] 且知EX₁＝EX₂＝[*]．DX₁＝DX₂＝[*]，T＝X₁＋X₂ 故ET＝EX₁＋EX₂＝[*]，DT＝DX₁＋DX₂＝[*] 下而求f(t)．用卷积公式知： f(t)＝∫_－∞^＋∞f_X(χ₁)f_X(t－χ₁)dχ_i ＝∫₀^＋5e^－5χf(t－χ)dχ [*] 当t≤0时，f(t)＝0(∵积分中χ≥0，∴χ≥t，f(t－χ)＝0)；当t＞0时，f(t)＝∫₀^t5e^－5χ.5e^－5(t－χ)dχ＝25∫₀^ye^－5tdχ＝25te^－5t 故f(t)＝[*]

解析

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考研数学三

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两台同样的自动记录仪，每台无故障工作的时间服从参数为5的指数分布．先开动其中一台，当其发生故障时停用而另一台自动开动．试求两台自动记录仪无故障工作的总时间T的概率密度f(t)、数学期望和方差．

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