设有平面力F(χ，y)＝(P(χ，y)，Q(χ，y))，其中P(χ，y)＝f(χ)＋y[e－χ－f′(χ)]，Q(χ，y)＝f′(χ)，函数f(χ)二阶连续可导，并满足f′(0)＝0，试确定f(χ)，使得 (Ⅰ)力F对运动质点做的功与质点运动路径无

admin2018-06-12 56

问题设有平面力F(χ，y)＝(P(χ，y)，Q(χ，y))，其中P(χ，y)＝f(χ)＋y[e^－χ－f′(χ)]，Q(χ，y)＝f′(χ)，函数f(χ)二阶连续可导，并满足f′(0)＝0，试确定f(χ)，使得
(Ⅰ)力F对运动质点做的功与质点运动路径无关；
(Ⅱ)若L是由点A(－1，1)到点8(1，0)逐段光滑的有向曲线，则∫_LPdχ＋Qdy＝

．

选项

答案条件(Ⅰ)即∫_LPdχ＋Qdy在全平面与路径无关[*]，即 f〞(χ)＝e^－χ－f′(χ)，f〞(χ)＋f′(χ)＝e^－χ．现求此方程的解．这也是可降阶的二阶方程．令p＝f′(χ)，两边乘μ(χ)＝e^∫dχ＝e^χ得 (e^χp)′＝1．积分并注意p(0)＝f′(0)＝0得 e^χf′(χ)＝χ，f′(χ)＝χe^－χ．再积分得f(χ)＝－(χ＋1)e^－χ＋C．现由条件(Ⅱ)定出常数C．因积钋与路径无关．取L如图27—3所示的路径， [*] 则有∫_LPdχ＋Qdy＝∫₁⁰Q(－1，y)dy＋∫_-1¹P(χ，0)dχ ＝∫₁⁰f′(－1)dy＋∫_-1¹f(χ)dχ ＝e＋∫_-1¹[－(χ＋1)e^－χ＋C]dχ ＝e＋(χ＋1)e^－χ｜_-1¹＋e^－χ｜_-1¹＋2C ＝[*]， [*]C＝0．因此，f(χ)＝－(χ＋1)e^－χ．

解析

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考研数学一

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设有平面力F(χ，y)＝(P(χ，y)，Q(χ，y))，其中P(χ，y)＝f(χ)＋y[e－χ－f′(χ)]，Q(χ，y)＝f′(χ)，函数f(χ)二阶连续可导，并满足f′(0)＝0，试确定f(χ)，使得 (Ⅰ)力F对运动质点做的功与质点运动路径无

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