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设有平面力F(χ,y)=(P(χ,y),Q(χ,y)),其中P(χ,y)=f(χ)+y[e-χ-f′(χ)],Q(χ,y)=f′(χ),函数f(χ)二阶连续可导,并满足f′(0)=0,试确定f(χ),使得 (Ⅰ)力F对运动质点做的功与质点运动路径无
设有平面力F(χ,y)=(P(χ,y),Q(χ,y)),其中P(χ,y)=f(χ)+y[e-χ-f′(χ)],Q(χ,y)=f′(χ),函数f(χ)二阶连续可导,并满足f′(0)=0,试确定f(χ),使得 (Ⅰ)力F对运动质点做的功与质点运动路径无
admin
2018-06-12
71
问题
设有平面力F(χ,y)=(P(χ,y),Q(χ,y)),其中P(χ,y)=f(χ)+y[e
-χ
-f′(χ)],Q(χ,y)=f′(χ),函数f(χ)二阶连续可导,并满足f′(0)=0,试确定f(χ),使得
(Ⅰ)力F对运动质点做的功与质点运动路径无关;
(Ⅱ)若L是由点A(-1,1)到点8(1,0)逐段光滑的有向曲线,则∫
L
Pdχ+Qdy=
.
选项
答案
条件(Ⅰ)即∫
L
Pdχ+Qdy在全平面与路径无关[*],即 f〞(χ)=e
-χ
-f′(χ),f〞(χ)+f′(χ)=e
-χ
. 现求此方程的解. 这也是可降阶的二阶方程.令p=f′(χ),两边乘μ(χ)=e
∫dχ
=e
χ
得 (e
χ
p)′=1. 积分并注意p(0)=f′(0)=0得 e
χ
f′(χ)=χ,f′(χ)=χe
-χ
. 再积分得f(χ)=-(χ+1)e
-χ
+C. 现由条件(Ⅱ)定出常数C. 因积钋与路径无关.取L如图27—3所示的路径, [*] 则有∫
L
Pdχ+Qdy=∫
1
0
Q(-1,y)dy+∫
-1
1
P(χ,0)dχ =∫
1
0
f′(-1)dy+∫
-1
1
f(χ)dχ =e+∫
-1
1
[-(χ+1)e
-χ
+C]dχ =e+(χ+1)e
-χ
|
-1
1
+e
-χ
|
-1
1
+2C =[*], [*]C=0. 因此,f(χ)=-(χ+1)e
-χ
.
解析
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考研数学一
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