2. 考研
  3. A是3阶矩阵，有特征值λ1一λ2=2，对应两个线性无关的特征向量为ξ1，ξ2，λ3=一2对应的特征向量是ξ3． (Ⅰ)问ξ1+ξ2是否是A的特征向量?说明理由； (Ⅱ)ξ2+ξ3是否是A的特征向量?说明理由； (Ⅲ)证明：任意三维非零向量β(β≠0)都是A

A是3阶矩阵，有特征值λ1一λ2=2，对应两个线性无关的特征向量为ξ1，ξ2，λ3=一2对应的特征向量是ξ3． (Ⅰ)问ξ1+ξ2是否是A的特征向量?说明理由； (Ⅱ)ξ2+ξ3是否是A的特征向量?说明理由； (Ⅲ)证明：任意三维非零向量β(β≠0)都是A

admin2019-07-01  31
问题 A是3阶矩阵，有特征值λ1一λ2=2，对应两个线性无关的特征向量为ξ1，ξ2，λ3=一2对应的特征向量是ξ3．
(Ⅰ)问ξ1+ξ2是否是A的特征向量?说明理由；
(Ⅱ)ξ2+ξ3是否是A的特征向量?说明理由；
(Ⅲ)证明：任意三维非零向量β(β≠0)都是A2的特征向量，并求对应的特征值．
选项
答案(Ⅰ)ξ1+ξ2仍是A的对应于λ1=λ2=2的特征向量． 因已知Aξ1=2ξ1，Aξ2=2ξ2，故 A(ξ1+ξ2)=Aξ1+Aξ2=2ξ1+2ξ2=2(ξ1+ξ2)． (Ⅱ)ξ2+ξ3不是A的特征向量．假设是，设其对应的特征值为u，则有 A(ξ2+ξ3)=μ(ξ2+ξ3)， 得2ξ2－2ξ3一μξ2一μξ3=(2－μ)ξ2一(2+μ)ξ3=0， 因2－μ和2+μ不同时为零，故ξ2，ξ3线性相关，这和不同特征值对应的特征向量线性无关矛盾， 故ξ2+ξ3不是A的特征向量． (Ⅲ)因A有特征值λ1=λ2=2，λ3=－2，故A2有特征值μ1=μ2=μ3=4．对应的特征向量仍是ξ1， ξ2，ξ3，且ξ1，ξ2，ξ3线性无关．故存在可逆矩阵P=(ξ1，ξ2，ξ3)，使得 P－1A2P=4E，A2=P(4E)P－1=4E． 从而对任意的β≠0，有A2β=4Eβ=4β，故知任意非零向量β都是A2的对应于λ=4的特征向量．
解析
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考研数学一

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