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  3. 设X与Y独立同分布，P(X=1)=p，(0＜p＜1)，p(X=0)=1-p，令Z= 问p取何值时，X与Z独立?(设0为偶数)

设X与Y独立同分布，P(X=1)=p，(0＜p＜1)，p(X=0)=1-p，令Z= 问p取何值时，X与Z独立?(设0为偶数)

admin2019-07-19  17
问题 设X与Y独立同分布，P(X=1)=p，(0＜p＜1)，p(X=0)=1-p，令Z=
问p取何值时，X与Z独立?(设0为偶数)
选项
答案P(Z=0)=P(X+Y=1)=P(X=0，Y=1)+P(X=1，Y=0)=2p(1-p) P(Z=1)=P(X+Y=0)+P(X+Y=1)=P(X=0，Y=0)+P(X=1，Y=1)=(1-p)2+p2 而P(X=0，Z=0)=P(X=0，Y=1)=P(X=0)P(Y=1)=p(1-p) 如果P(X=0，Z=0)=P(x=0)P(Z=0)，则须p(1-p)=(1-p)．2p(1-p) 解得p=1／2，不难验算出，p=1／2时，P(X=0，Z=1)=P(X=0)P(Z=1)=1／4，P(X=1，Z=0)=P(X=1)P(Z=0)=1／4，P(X=1，Z=1)=P(X=1)P(Z=1]=1／4。故知当且仅当p=1／2时，X与Z独立。
解析
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考研数学一

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