2. 考研
  3. 设A是n(n＞1)阶矩阵，ξ1，ξ2，…，ξn是n维列向量，若ξN≠0，且Aξ1=ξ2，Aξ2=ξ3，…，Aξn-1=ξn，Aξn=0，证明： (1)ξ1，ξ2，…，ξn线性无关． (2)A不能相似于对角矩阵．

设A是n(n＞1)阶矩阵，ξ1，ξ2，…，ξn是n维列向量，若ξN≠0，且Aξ1=ξ2，Aξ2=ξ3，…，Aξn-1=ξn，Aξn=0，证明： (1)ξ1，ξ2，…，ξn线性无关． (2)A不能相似于对角矩阵．

admin2020-09-25  103
问题 设A是n(n＞1)阶矩阵，ξ1，ξ2，…，ξn是n维列向量，若ξN≠0，且Aξ1=ξ2，Aξ2=ξ3，…，Aξn-1=ξn，Aξn=0，证明：
  (1)ξ1，ξ2，…，ξn线性无关．
  (2)A不能相似于对角矩阵．
选项
答案(1)由题意Akξ1=Aξk=ξk+1(k=1，2，…，n一1)，Anξ1=An-1ξ2=…=Aξn=0． 设有一组数x1，x2，…，xn使x1ξ1+x2ξ2+…+xnξn=0． 以An-1左乘上式两边得x1ξn=0，由于ξn≠0，故x1=0，类似的可得x2=x3=…=xn=0，因此ξ1，ξ2，…，ξn线性无关． (2)由题意得 A(ξ1，ξ2，…，ξn)=(ξ2，ξ3，…，ξn，0)=(ξ1，ξ2，…，ξn)[*] 因ξ1，ξ2，…，ξn线性无关，因此A与矩阵B=[*]相似，因R(B)=n一1，因此R(A)=n一1，因B的特征值全为0，因此A的特征值全为0，因此A的线性无关特征向量只有1个，因此A不可对角化．
解析
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考研数学三

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