设A是n(n>1)阶矩阵,ξ1,ξ2,…,ξn是n维列向量,若ξN≠0,且Aξ1=ξ2,Aξ2=ξ3,…,Aξn-1=ξn,Aξn=0,证明: (1)ξ1,ξ2,…,ξn线性无关. (2)A不能相似于对角矩阵.

admin2020-09-25  65

问题 设A是n(n>1)阶矩阵,ξ1,ξ2,…,ξn是n维列向量,若ξN≠0,且Aξ12,Aξ23,…,Aξn-1n,Aξn=0,证明:
  (1)ξ1,ξ2,…,ξn线性无关.
  (2)A不能相似于对角矩阵.

选项

答案(1)由题意Akξ1=Aξkk+1(k=1,2,…,n一1),Anξ1=An-1ξ2=…=Aξn=0. 设有一组数x1,x2,…,xn使x1ξ1+x2ξ2+…+xnξn=0. 以An-1左乘上式两边得x1ξn=0,由于ξn≠0,故x1=0,类似的可得x2=x3=…=xn=0,因此ξ1,ξ2,…,ξn线性无关. (2)由题意得 A(ξ1,ξ2,…,ξn)=(ξ2,ξ3,…,ξn,0)=(ξ1,ξ2,…,ξn)[*] 因ξ1,ξ2,…,ξn线性无关,因此A与矩阵B=[*]相似,因R(B)=n一1,因此R(A)=n一1,因B的特征值全为0,因此A的特征值全为0,因此A的线性无关特征向量只有1个,因此A不可对角化.

解析
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