设函数f(x)在[0，+∞)上连续，单调不减且f(0)≥0．试证函数在[0，+∞)上连续，且单调不减(其中n>0)．

admin2019-03-22 45

问题设函数f(x)在[0，+∞)上连续，单调不减且f(0)≥0．试证函数

在[0，+∞)上连续，且单调不减(其中n>0)．

选项

答案(1)显然函数F(x)在(0，+∞)内连续，只需证明F(x)在x=0处连续．事实上，由洛必达法则得到 [*] 故F(x)在x=0处连续．因而F(x)在[0，+∞)上连续． (2)证一为证F(x)单调不减，需证F’(x)≥0．事实上，由积分中值定理得到 [*] 其中0≤ξ≤x．由于f(x)在[0，+∞)上单调不减，有f(x)≥f(ξ)，又因xⁿ≥ξⁿ，故xⁿf(x)≥ξ"f(ξ)．于是F’(x)≥0，即F(x)在[0，+∞)上单调不减．证二因[*] 又f(x)单调不减而0≤t≤x，故x"f(x)－t"f(t)≥0，可见F(x)在[0，+∞)上单调不减．

解析

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考研数学三

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设g（x）=∫0xf（u）du，其中f（x）=则g（x）在区间（0，2）内（）

设函数f（x），g（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内具有二阶导数且存在相等的最大值，f（a）=g（a），f（b）=g（b），证明：存在ξ∈（a，b），使得f"（ξ）=g"（ξ）。

[*]

设f（x）在[a，b]上二阶可导，且f（x）＞0，使不等式f（a）（b—a）＜∫abf（x）dx＜（b—a）成立的条件是（）

当x→0时，ex一（ax2+bx+1）是比x2高阶的无穷小，则（）

设f（u，υ）具有连续偏导数，且fu’（u，υ）+fυ’（u，υ）=sin（12+υ）eu+υ，求y（x）=e—2xf（x，x）所满足的一阶微分方程，并求其通解。

设an=tannxdx。（Ⅰ）求（an+an+2）的值；（Ⅱ）证明对任意的常数λ＞0，级数收敛。

已知函数f（x）满足方程f"（x）+f’（x）一2f（x）=0及f"（x）+f（x）=2ex。（Ⅰ）求f（x）的表达式；（Ⅱ）求曲线y=f（x2）∫0xf（一t2）dt的拐点。

(2013年)设{an}为正项数列，下列选项正确的是()

儿童红斑狼疮的关节炎的临床特点中哪项是错误的

按建标[2003]206号文件的规定,临时设施费应列入建安工程费用的()一项。

股份有限公司注册资本的最低限额为人民币(　　)万元。

关于无形资产的摊销，下列说法中正确的有()。

影响人的身心发展的主要因素是()。

第一本试图以马克思主义的观点和方法阐明教育和教学规律的书籍是

使一国中央银行制止本币升值的外汇市场干预失败的因素是()。(中央财经大学)

中国共产党比较系统地阐述关于社会主义初级阶段的理论是在

MarkTwainpointedoutthatifworkweresopleasant,therichwouldkeepitforthemselves.Buthowevermuchpeoplemaythinkt

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[*]

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