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设函数f(x)在[0,+∞)上连续,单调不减且f(0)≥0.试证函数 在[0,+∞)上连续,且单调不减(其中n>0).
设函数f(x)在[0,+∞)上连续,单调不减且f(0)≥0.试证函数 在[0,+∞)上连续,且单调不减(其中n>0).
admin
2019-03-22
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问题
设函数f(x)在[0,+∞)上连续,单调不减且f(0)≥0.试证函数
在[0,+∞)上连续,且单调不减(其中n>0).
选项
答案
(1)显然函数F(x)在(0,+∞)内连续,只需证明F(x)在x=0处连续.事实上,由洛必达法则得到 [*] 故F(x)在x=0处连续.因而F(x)在[0,+∞)上连续. (2)证一 为证F(x)单调不减,需证F’(x)≥0.事实上,由积分中值定理得到 [*] 其中0≤ξ≤x.由于f(x)在[0,+∞)上单调不减,有f(x)≥f(ξ),又因x
n
≥ξ
n
,故x
n
f(x)≥ξ"f(ξ).于是F’(x)≥0,即F(x)在[0,+∞)上单调不减. 证二 因[*] 又f(x)单调不减而0≤t≤x,故x"f(x)-t"f(t)≥0,可见F(x)在[0,+∞)上单调不减.
解析
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考研数学三
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