2. 考研
  3. 设函数f(x)在[0，+∞)上连续，单调不减且f(0)≥0．试证函数 在[0，+∞)上连续，且单调不减(其中n>0)．

设函数f(x)在[0，+∞)上连续，单调不减且f(0)≥0．试证函数 在[0，+∞)上连续，且单调不减(其中n>0)．

admin2019-03-22  62
问题 设函数f(x)在[0，+∞)上连续，单调不减且f(0)≥0．试证函数
        
在[0，+∞)上连续，且单调不减(其中n>0)．
选项
答案(1)显然函数F(x)在(0，+∞)内连续，只需证明F(x)在x=0处连续．事实上，由洛必达法则得到 [*] 故F(x)在x=0处连续．因而F(x)在[0，+∞)上连续． (2)证一 为证F(x)单调不减，需证F’(x)≥0．事实上，由积分中值定理得到 [*] 其中0≤ξ≤x．由于f(x)在[0，+∞)上单调不减，有f(x)≥f(ξ)，又因xn≥ξn，故xnf(x)≥ξ"f(ξ)．于是F’(x)≥0，即F(x)在[0，+∞)上单调不减． 证二 因[*] 又f(x)单调不减而0≤t≤x，故x"f(x)－t"f(t)≥0，可见F(x)在[0，+∞)上单调不减．
解析
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考研数学三

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