设A是n阶矩阵，P是n阶可逆矩阵，n维列向量口是矩阵A的属于特征值λ的特征向量，那么在下列矩阵中 (1)A2 (2)P-1AP (3)AT (4)E－A α肯定是其特征向量的矩阵共有( )

admin2016-05-09 48

问题设A是n阶矩阵，P是n阶可逆矩阵，n维列向量口是矩阵A的属于特征值λ的特征向量，那么在下列矩阵中
(1)A² (2)P^-1AP
(3)A^T (4)E－

A
α肯定是其特征向量的矩阵共有( )

选项 A、1个
B、2个
C、3个
D、4个

答案B

解析由Aα＝λα，α≠0，有A²α＝A(λα)＝λAα＝λ²α，α≠0，即α必是A²属于特征值λ²的特征向量．
又

知α必是矩阵E－

A属于特征值1－

λ的特征向量．关于(2)和(3)则不一定成立．这是因为
(P^-1AP)(P^-1α)＝P^-1Aα＝λP^-1α，
按定义，矩阵P^-1AP的特征向量是P^-1α．因为P^-1与α不一定共线，因此α不一定是P^-1AP的特征向量，即相似矩阵的特征向量是不一样的．
线性方程组(λE－A)χ＝0与(λE－A^T)χ＝0不一定同解，所以α不一定是第二个方程组的解，即α不一定是A^T的特征向量．所以应选B．

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