设A是n阶矩阵,P是n阶可逆矩阵,n维列向量口是矩阵A的属于特征值λ的特征向量,那么在下列矩阵中 (1)A2 (2)P-1AP (3)AT (4)E-A α肯定是其特征向量的矩阵共有( )

admin2016-05-09  21

问题 设A是n阶矩阵,P是n阶可逆矩阵,n维列向量口是矩阵A的属于特征值λ的特征向量,那么在下列矩阵中
    (1)A2    (2)P-1AP
    (3)AT    (4)E-A
    α肯定是其特征向量的矩阵共有(    )

选项 A、1个
B、2个
C、3个
D、4个

答案B

解析 由Aα=λα,α≠0,有A2α=A(λα)=λAα=λ2α,α≠0,即α必是A2属于特征值λ2的特征向量.
    又
    知α必是矩阵E-A属于特征值1-λ的特征向量.关于(2)和(3)则不一定成立.这是因为
    (P-1AP)(P-1α)=P-1Aα=λP-1α,
    按定义,矩阵P-1AP的特征向量是P-1α.因为P-1与α不一定共线,因此α不一定是P-1AP的特征向量,即相似矩阵的特征向量是不一样的.
    线性方程组(λE-A)χ=0与(λE-AT)χ=0不一定同解,所以α不一定是第二个方程组的解,即α不一定是AT的特征向量.所以应选B.
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