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  3. 设f(x)在[0，﹢∞)上连续，且f(x)＝dt 在(Ⅱ)的基础上，任取x0＞ξ＞0，xn＝2f(xn－1)(n≥1)，证明：一ξ

设f(x)在[0，﹢∞)上连续，且f(x)＝dt 在(Ⅱ)的基础上，任取x0＞ξ＞0，xn＝2f(xn－1)(n≥1)，证明：一ξ

admin2022-06-09  29
问题 设f(x)在[0，﹢∞)上连续，且f(x)＝dt
在(Ⅱ)的基础上，任取x0＞ξ＞0，xn＝2f(xn－1)(n≥1)，证明：一ξ
选项
答案由(Ⅱ)，知g(x)及21n(1＋x)在(ξ，＋∞)内均单调增加，即当x∈(ξ，＋∞)时，有x－2ln(1＋x)＞ξ－2ln(1＋ξ)＝0，2ln(1＋x)＞2ln(1＋ξ) 当k＝1时，x0∈(ξ，＋∞)，有 x0＞2ln(1＋x0)＝x1＞2ln(1＋ξ)＝ξ 假设当k≤n－1时，有xn－1＞xn＞ξ成立，则 xn＞2ln(1＋xn)＝sx＋1＞2ln(1＋ξ)＝ξ 故由数学归纳法，知{xn)单调减少且有下界ξ 由单调有界准则，知[*]存在，记[*]＝A，xn＝2ln(1＋xn－1)两边同时取极限 (n→∞)，得A＝2ln(1＋A)，由(Ⅱ)，知A＝ξ，故[*]＝ξ
解析
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考研数学二

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