设f(x)在[0,﹢∞)上连续,且f(x)=dt 在(Ⅱ)的基础上,任取x0>ξ>0,xn=2f(xn-1)(n≥1),证明:一ξ

admin2022-06-09  31

问题 设f(x)在[0,﹢∞)上连续,且f(x)=dt
在(Ⅱ)的基础上,任取x0>ξ>0,xn=2f(xn-1)(n≥1),证明:一ξ

选项

答案由(Ⅱ),知g(x)及21n(1+x)在(ξ,+∞)内均单调增加,即当x∈(ξ,+∞)时,有x-2ln(1+x)>ξ-2ln(1+ξ)=0,2ln(1+x)>2ln(1+ξ) 当k=1时,x0∈(ξ,+∞),有 x0>2ln(1+x0)=x1>2ln(1+ξ)=ξ 假设当k≤n-1时,有xn-1>xn>ξ成立,则 xn>2ln(1+xn)=sx+1>2ln(1+ξ)=ξ 故由数学归纳法,知{xn)单调减少且有下界ξ 由单调有界准则,知[*]存在,记[*]=A,xn=2ln(1+xn-1)两边同时取极限 (n→∞),得A=2ln(1+A),由(Ⅱ),知A=ξ,故[*]=ξ

解析
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