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设f(x)在(0,+∞)二阶可导且f(x),f"(x)在(0,+∞)上有界,求证:f’(x)在(0,+∞)上有界.
设f(x)在(0,+∞)二阶可导且f(x),f"(x)在(0,+∞)上有界,求证:f’(x)在(0,+∞)上有界.
admin
2021-11-09
45
问题
设f(x)在(0,+∞)二阶可导且f(x),f"(x)在(0,+∞)上有界,求证:f’(x)在(0,+∞)上有界.
选项
答案
按条件,联系f(x),f"(x)与f’(x)的是带拉格朗日余项的一阶泰勒公式. [*]x>0,h>0有 f(x+h)=f(x)+f’(x)h+[*]f"(ξ)h
2
, 其中ξ∈(x,x+h).特别是,取h=1,ξ∈(x,x+1),有 f(x+1)=f(x)+f’(x)+[*]f"(ξ),即f’(x)=f(x+1)-f(x)-[*]f"(ξ). 由题设,|f(x)|≤M
0
,|f"(x)|≤M
2
([*]x∈(0,+∞)),M
0
,M
2
为常数,于是有 [*] 即f’(x)在(0,+∞)上有界.
解析
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考研数学二
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