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  3. 设数列{an}，{bn}满足ebn=ean-an，且an＞0，n=1，2，3，…，证明： (Ⅰ)bn＞0； (Ⅱ)若收敛，则收敛。

设数列{an}，{bn}满足ebn=ean-an，且an＞0，n=1，2，3，…，证明： (Ⅰ)bn＞0； (Ⅱ)若收敛，则收敛。

admin2019-01-15  105
问题 设数列{an}，{bn}满足ebn=ean-an，且an＞0，n=1，2，3，…，证明：
(Ⅰ)bn＞0；
(Ⅱ)若收敛，则收敛。
选项
答案(Ⅰ)由幂级数展开式[*]可知，当x≠0时，ex-x＞1恒成立。 再由an＞0可得，ebn=ean-an＞1=e0，故bn＞0。 (Ⅱ)由ebn=ean-an可得，bn=In(ean-an)。 因为an＞0，且级数[*]收敛，所以[*]，则[*]。再结合[*]，可知 [*] 由比较审敛法的极限形式可知，级数[*]收敛。
解析
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考研数学三

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