设数列{an}，{bn}满足ebn=ean-an，且an＞0，n=1，2，3，…，证明： (Ⅰ)bn＞0； (Ⅱ)若收敛，则收敛。

admin2019-01-15 94

问题设数列{a_n}，{b_n}满足e^b_n=e^a_n-a_n，且a_n＞0，n=1，2，3，…，证明：
(Ⅰ)b_n＞0；
(Ⅱ)若

收敛，则

收敛。

选项

答案(Ⅰ)由幂级数展开式[*]可知，当x≠0时，e^x-x＞1恒成立。再由a_n＞0可得，e^b_n=e^a_n-a_n＞1=e⁰，故b_n＞0。 (Ⅱ)由e^b_n=e^a_n-a_n可得，b_n=In(e^a_n-a_n)。因为a_n＞0，且级数[*]收敛，所以[*]，则[*]。再结合[*]，可知 [*] 由比较审敛法的极限形式可知，级数[*]收敛。

解析

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考研数学三

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(07年)设某商品的需求函数为Q＝160－2p．其中Q，P分别表示需求量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于1，则商品的价格是【】
(99年)设函数f(χ)在区间[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)＝f(1)＝0，f()＝1．试证(1)存在η∈(，1)，使f(η)＝η．(2)对任意实数λ，必存在ξ∈(0，η)，使得f′(ξ)－λ[f(ξ)－ξ]＝1
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若幂级数(a＞0)的收敛域为(－∞，＋∞)，则a应满足_______．

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