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已知齐次线性方程组 其中ai≠0,试讨论a1,a2,…,an和b满足何种关系时: (Ⅰ)方程组仅有零解; (Ⅱ)方程组有非零解。在有非零解时,求此方程组的一个基础解系。
已知齐次线性方程组 其中ai≠0,试讨论a1,a2,…,an和b满足何种关系时: (Ⅰ)方程组仅有零解; (Ⅱ)方程组有非零解。在有非零解时,求此方程组的一个基础解系。
admin
2018-04-18
75
问题
已知齐次线性方程组
其中
a
i
≠0,试讨论a
1
,a
2
,…,a
n
和b满足何种关系时:
(Ⅰ)方程组仅有零解;
(Ⅱ)方程组有非零解。在有非零解时,求此方程组的一个基础解系。
选项
答案
方程组的系数行列式 [*] (Ⅰ)当b≠0且b+[*]a
i
≠0时,r(A)=n,方程组仅有零解。 (Ⅱ)当b=0时,原方程组的同解方程组为a
1
x
1
+a
2
x
2
+…+a
n
x
n
=0。 由[*]a
i
≠0可知,a
i
(i=1,2,…,n)不全为零。不妨设a
1
≠0,得原方程组的一个基础解系为 α
1
=(一[*],1,0,…,0)
T
,α
2
=(一[*],0,1,…,0)
T
,…,α
n-1
=(一[*],0,0,…,1)
T
。 当b=一[*]a
i
时,有b≠0,原方程组的系数矩阵可化为 [*] 由此得原方程组的同解方程组为x
2
=x
1
,x
3
=x
1
,…,x
n
=x
1
。原方程组的一个基础解系为 α=(1,1,…,1)
T
。
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/rpX4777K
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考研数学三
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