2. 考研
  3. 已知齐次线性方程组 其中ai≠0，试讨论a1，a2，…，an和b满足何种关系时： (Ⅰ)方程组仅有零解； (Ⅱ)方程组有非零解。在有非零解时，求此方程组的一个基础解系。

已知齐次线性方程组 其中ai≠0，试讨论a1，a2，…，an和b满足何种关系时： (Ⅰ)方程组仅有零解； (Ⅱ)方程组有非零解。在有非零解时，求此方程组的一个基础解系。

admin2018-04-18  40
问题 已知齐次线性方程组

其中ai≠0，试讨论a1，a2，…，an和b满足何种关系时：
    (Ⅰ)方程组仅有零解；
    (Ⅱ)方程组有非零解。在有非零解时，求此方程组的一个基础解系。
选项
答案方程组的系数行列式 [*] (Ⅰ)当b≠0且b+[*]ai≠0时，r(A)=n，方程组仅有零解。 (Ⅱ)当b=0时，原方程组的同解方程组为a1x1+a2x2+…+anxn=0。 由[*]ai≠0可知，ai(i=1，2，…，n)不全为零。不妨设a1≠0，得原方程组的一个基础解系为 α1=(一[*]，1，0，…，0)T，α2=(一[*]，0，1，…，0)T，…，αn-1=(一[*]，0，0，…，1)T。 当b=一[*]ai时，有b≠0，原方程组的系数矩阵可化为 [*] 由此得原方程组的同解方程组为x2=x1，x3=x1，…，xn=x1。原方程组的一个基础解系为 α=(1，1，…，1)T。
解析
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考研数学三

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