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  3. 设F(x)可导，下述命题： ①Fˊ(x)为偶函数的充要条件是F(x)为奇函数； ②Fˊ(x)为奇函数的充要条件是F(x)为偶函数； ③Fˊ(x)为周期函数的充要条件是F(x)为周期函数． 正确的个数是 ( )

设F(x)可导，下述命题： ①Fˊ(x)为偶函数的充要条件是F(x)为奇函数； ②Fˊ(x)为奇函数的充要条件是F(x)为偶函数； ③Fˊ(x)为周期函数的充要条件是F(x)为周期函数． 正确的个数是 ( )

admin2018-07-23  53
问题 设F(x)可导，下述命题：
①Fˊ(x)为偶函数的充要条件是F(x)为奇函数；
②Fˊ(x)为奇函数的充要条件是F(x)为偶函数；
③Fˊ(x)为周期函数的充要条件是F(x)为周期函数．
正确的个数是    (    )
选项 A、0个．
B、1个．
C、2个．
D、3个．
答案B
解析 ②是正确的，证明如下：设Fˊ(x)= f(x)为奇函数．则
φ(x)=∫0xf (t)dt
必是偶函数．证明如下：
φ(－x)=∫0－xf (t)dt=∫0xf(－t)(－dt)=∫0xf(t)dt=φ(x)．
又因f(x)的任意一个原函数必是φ(x)+C的形式，所以f(x)的任意一个原函数必是偶函数．必要性证毕．
设F(x)为偶函数：
F(x)=F(－x)，
两边对x求导，得
Fˊ(x)= －Fˊ(－x)，
所以Fˊ(x)为奇函数，充分性证毕．
①是不正确的．反例：(x3+1)ˊ=3x2为偶函数，但x3+1并非奇函数，必要性不成立．
③是不正确的．反例：(sin x+x) ˊ=cosx+1为周期函数，但sin x+x不是周期函数，必要性不成立．
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考研数学二

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