设函数y(x)(x≥0)二阶可导,且y’(x)>0,y(0)=1_过曲线y=y(x)上任意一点P(x,y)作该曲线的切线及x轴的垂线,上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S1,区间[0,x]上以y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为S2,并设2S1-S2

admin2021-01-19  29

问题 设函数y(x)(x≥0)二阶可导,且y’(x)>0,y(0)=1_过曲线y=y(x)上任意一点P(x,y)作该曲线的切线及x轴的垂线,上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S1,区间[0,x]上以y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为S2,并设2S1-S2恒为1,求此曲线y=y(X)的方程.

选项

答案曲线y=y(x)在点P(x,y)处的切线方程为 Y—y=y’(x—x),它与x轴的交点为[*]. 由于y’(x)>0,y(0)=1,因此y(x)>0(x>0), 于是[*] 又 S2=∫0xy(t)dt. 根据已知条件2S1-S2=1,有 [*],代入y(0)=1,有y’(0)=1. 方程两边对x求导并化简得 yy"=y’2,这是可降阶方程. 令P=y’,则方程化为[*],分离变量得[*], 两边积分得P=C1y,即y’=C1y, 代入初始条件y(0)=1,y’(0)=1,得 C1=1,有[*],两边积分得y=C2ex,代入y(0)=1,得C1=1, 因此,所求曲线的方程为y=ex

解析 [分析]  首先根据微积分的几何意义,求出S1和S2,然后由关系式2S1-S2=1得到一含有变限积分的函数方程问题,对方程两边求导,转化为微分方程问题.
    [评注1]  本题将曲线切线问题、平面图彤的面积问题、含变限积分的函数方程问题以及微分方程问题综合起来,有一定的难度与计算量.
    [评注2]  本题不是直接给出含变限积分的函数方程问题,而是由变化区间[0,x]上的面积用变限积分S2=∫0xy(t)dt表示,转化为含有变限积分的函数方程问题.类似地,由变化区间上的体积、弧长等定积分的应用问题,也可以转化为含有变限积分的函数方程问题.
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