2. 考研
  3. 设函数y(x)(x≥0)二阶可导，且y’(x)＞0，y(0)＝1_过曲线y＝y(x)上任意一点P(x，y)作该曲线的切线及x轴的垂线，上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S1，区间[0，x]上以y＝y(x)为曲边的曲边梯形面积记为S2，并设2S1－S2

设函数y(x)(x≥0)二阶可导，且y’(x)＞0，y(0)＝1_过曲线y＝y(x)上任意一点P(x，y)作该曲线的切线及x轴的垂线，上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S1，区间[0，x]上以y＝y(x)为曲边的曲边梯形面积记为S2，并设2S1－S2

admin2021-01-19  50
问题 设函数y(x)(x≥0)二阶可导，且y’(x)＞0，y(0)＝1_过曲线y＝y(x)上任意一点P(x，y)作该曲线的切线及x轴的垂线，上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S1，区间[0，x]上以y＝y(x)为曲边的曲边梯形面积记为S2，并设2S1－S2恒为1，求此曲线y＝y(X)的方程．
选项
答案曲线y＝y(x)在点P(x，y)处的切线方程为 Y—y＝y’(x—x)，它与x轴的交点为[*]． 由于y’(x)＞0，y(0)＝1，因此y(x)＞0(x＞0)， 于是[*] 又 S2＝∫0xy(t)dt． 根据已知条件2S1－S2＝1，有 [*]，代入y(0)＝1，有y’(0)＝1． 方程两边对x求导并化简得 yy"＝y’2，这是可降阶方程． 令P＝y’，则方程化为[*]，分离变量得[*]， 两边积分得P＝C1y，即y’＝C1y， 代入初始条件y(0)＝1，y’(0)＝1，得 C1＝1，有[*]，两边积分得y＝C2ex，代入y(0)＝1，得C1＝1， 因此，所求曲线的方程为y＝ex．
解析 [分析]  首先根据微积分的几何意义，求出S1和S2，然后由关系式2S1－S2＝1得到一含有变限积分的函数方程问题，对方程两边求导，转化为微分方程问题．
    [评注1]  本题将曲线切线问题、平面图彤的面积问题、含变限积分的函数方程问题以及微分方程问题综合起来，有一定的难度与计算量．
    [评注2]  本题不是直接给出含变限积分的函数方程问题，而是由变化区间[0，x]上的面积用变限积分S2＝∫0xy(t)dt表示，转化为含有变限积分的函数方程问题．类似地，由变化区间上的体积、弧长等定积分的应用问题，也可以转化为含有变限积分的函数方程问题．
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考研数学二

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