首页
外语
计算机
考研
公务员
职业资格
财经
工程
司法
医学
专升本
自考
实用职业技能
登录
考研
设函数y(x)(x≥0)二阶可导,且y’(x)>0,y(0)=1_过曲线y=y(x)上任意一点P(x,y)作该曲线的切线及x轴的垂线,上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S1,区间[0,x]上以y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为S2,并设2S1-S2
设函数y(x)(x≥0)二阶可导,且y’(x)>0,y(0)=1_过曲线y=y(x)上任意一点P(x,y)作该曲线的切线及x轴的垂线,上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S1,区间[0,x]上以y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为S2,并设2S1-S2
admin
2021-01-19
49
问题
设函数y(x)(x≥0)二阶可导,且y’(x)>0,y(0)=1_过曲线y=y(x)上任意一点P(x,y)作该曲线的切线及x轴的垂线,上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S
1
,区间[0,x]上以y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为S
2
,并设2S
1
-S
2
恒为1,求此曲线y=y(X)的方程.
选项
答案
曲线y=y(x)在点P(x,y)处的切线方程为 Y—y=y’(x—x),它与x轴的交点为[*]. 由于y’(x)>0,y(0)=1,因此y(x)>0(x>0), 于是[*] 又 S
2
=∫
0
x
y(t)dt. 根据已知条件2S
1
-S
2
=1,有 [*],代入y(0)=1,有y’(0)=1. 方程两边对x求导并化简得 yy"=y’
2
,这是可降阶方程. 令P=y’,则方程化为[*],分离变量得[*], 两边积分得P=C
1
y,即y’=C
1
y, 代入初始条件y(0)=1,y’(0)=1,得 C
1
=1,有[*],两边积分得y=C
2
e
x
,代入y(0)=1,得C
1
=1, 因此,所求曲线的方程为y=e
x
.
解析
[分析] 首先根据微积分的几何意义,求出S
1
和S
2
,然后由关系式2S
1
-S
2
=1得到一含有变限积分的函数方程问题,对方程两边求导,转化为微分方程问题.
[评注1] 本题将曲线切线问题、平面图彤的面积问题、含变限积分的函数方程问题以及微分方程问题综合起来,有一定的难度与计算量.
[评注2] 本题不是直接给出含变限积分的函数方程问题,而是由变化区间[0,x]上的面积用变限积分S
2
=∫
0
x
y(t)dt表示,转化为含有变限积分的函数方程问题.类似地,由变化区间上的体积、弧长等定积分的应用问题,也可以转化为含有变限积分的函数方程问题.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/rt84777K
0
考研数学二
相关试题推荐
设A是n阶非零实矩阵,满足A*=AT.证明|A|>0.
设矩阵A=(1)若A有一个特征值为3,求a;(2)求可逆矩阵P,使得PTA2P为对角矩阵.
从一艘破裂的油轮中渗漏出来的油,在海面上逐渐扩散形成油层.设在扩散的过程中,其形状一直是一个厚度均匀的圆柱体,其体积也始终保持不变.已知其厚度h的减少率与h3成正比,试证明:其半径r的增加率与r3成反比.
设线性方程组(1)Ax=0的一个基础解系为α1=(1,1,1,0,2)T,α2=(1,1,0,1,1)T,α3=(1,0,1,1,2)T。线性方程组(2)Bx=0的一个基础解系为β1=(1,1,一1,一1,1)T,β2=(1,一1,1,一1,2)T,β3=
从船上向海中沉放某种探测仪器,按探测要求,需确定仪器的下沉深度y(从海平面算起)与下沉速度v之间的关系.设仪器在重力作用下,从海平面由静止开始铅直下沉,在下沉过程中还要受到阻力和浮力的作用.设仪器的质量为m,体积为V,海水的比重为ρ,仪器所受阻力与下沉速度
有一平底容器,其内侧壁是由曲线x=φ(y)(y≥0)绕y轴旋转而成的旋转曲面,容器的底面圆的半径为2m。根据设计要求,当以3m3/min的速率向容器内注入液体时,液面的面积将以πm2/min的速率均匀扩大(假设注入液体前,容器内无液体)。求曲线x=φ(
计算其中Ω为x2+y2+z2≤1所围成的区域.
设y=y(χ)是方程2χydχ+(χ2-1)dy=0及条件y(0)=1的解,则y(χ)dχ=()
yy’’=1+y’2满足初始条件y(0)=1,y’(0)=0的解为______
证明极限不存在.
随机试题
普通视图中,显示幻灯片具体内容的窗格是________。
皮类药材的采收期一般在()。
土的三相比例是变化的。()
《危险货物的运输包装通用技术条件》(GB/T12463--1990)中的Ⅱ类包装是指()。
已知:A公司拟于2005年1月1日购买某公司的债券作为长期投资,要求的必要收益率为12%。现有五家公司的债券可供选择,其中甲、乙、丙三家于2003年1月1日发行5年期,面值均为1000元的债券。甲公司债券的票面利率为10%,6月末和12月末支付利息
宏昌公司为自营出口的生产企业(一般纳税人),2005年2月有关资料如下:(1)出口销售货物一批,离岸价为40万美元。(2)销售给国内其他企业货物一批,取得不含税销售收入400万元人民币。(3)购进国内原材料一批,价款为200万元,增
教师的知识结构主要包括()。
WhenyoureadapieceoftechnicalwritinginEnglishatthefirsttime,【M1】______orwhenyoufirsthearscientistsorenginee
证明:方程xα=lnx(α<0)在(0,+∞)上有且仅有一个实根.
使用VC6打开考生文件夹下的源程序文件2.cpp。阅读下列函数说明和代码,补充空出的代码。函数sum(intn)返回1,2,3,…,n的和。其中n大于0。程序要求使用递归实现上述功能。注意:不能修改程序的其他部分,只能补充sum函数。试题程
最新回复
(
0
)