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设三元非齐次线性方程组的系数矩阵A的秩为1,已知η1,η2,η3是它的三个解向量,且η1+η2=[1,2,3]T,η2+η3=[2,一1,1]T,η3+η1=[0,2,0]T,求该非齐次方程的通解.
设三元非齐次线性方程组的系数矩阵A的秩为1,已知η1,η2,η3是它的三个解向量,且η1+η2=[1,2,3]T,η2+η3=[2,一1,1]T,η3+η1=[0,2,0]T,求该非齐次方程的通解.
admin
2019-02-23
120
问题
设三元非齐次线性方程组的系数矩阵A的秩为1,已知η
1
,η
2
,η
3
是它的三个解向量,且η
1
+η
2
=[1,2,3]
T
,η
2
+η
3
=[2,一1,1]
T
,η
3
+η
1
=[0,2,0]
T
,求该非齐次方程的通解.
选项
答案
r(A)=1,AX=b的通解应为k
1
ξ
1
+k
2
ξ
2
+η,其中对应齐次方程AX=0的解为 ξ
1
=(η
1
+η
2
)一(η
2
+η
3
)=η
1
一η
3
=[一1,3,2]
T
, ξ
1
=(η
1
+η
2
)一(η
2
+η
3
)=η
1
一η
3
=[2, 3,1]
T
. 因ξ
1
,ξ
2
线性无关,故是AX=0的基础解系. 取AX=b的一个特解为 η=[*](η
3
+η
1
)=[0,1,0]
T
. 故AX=b的通解为 k
1
[一1,3,2]
T
+k
2
[2,一3,1]
T
+[0,1,0]
T
.
解析
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考研数学二
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