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  3. 已知二次型f(χ1，χ2，χ3)＝(1－a)χ12＋(1－a)χ12＋2χ32＋2(1＋a)χ1χ2的秩为2． (1)求a． (2)求作正交变换X＝QY，把f(χ1，χ2，χ3)化为标准形． (3)求方程f(χ1，χ2，χ3)＝0的

已知二次型f(χ1，χ2，χ3)＝(1－a)χ12＋(1－a)χ12＋2χ32＋2(1＋a)χ1χ2的秩为2． (1)求a． (2)求作正交变换X＝QY，把f(χ1，χ2，χ3)化为标准形． (3)求方程f(χ1，χ2，χ3)＝0的

admin2018-11-23  11
问题 已知二次型f(χ1，χ2，χ3)＝(1－a)χ12＋(1－a)χ12＋2χ32＋2(1＋a)χ1χ2的秩为2．
    (1)求a．
    (2)求作正交变换X＝QY，把f(χ1，χ2，χ3)化为标准形．
    (3)求方程f(χ1，χ2，χ3)＝0的解．
选项
答案(1)此二次型的矩阵为 [*] 则r(A)＝2，｜A｜＝0．求得｜A｜＝－8a，得a＝0． [*] (2)｜λE－A｜＝[*]＝λ(λ－2)2， 得A的特征值为2，2，0． 对特征值2求两个正交的单位特征向量： [*] 得(A－2E)X＝0的同解方程组χ1－χ2＝0，求出基础解系η1＝(0，0，1)T，η2＝(1，1，0)T．它们正交，单位化：α1＝η1，α2＝[*] 方程χ1－χ2＝0的系数向量η3＝(1，－1，0)T和η1，η2都正交，是属于特征值0的一个特征向量，单位化得 α3＝[*] 作正交矩阵Q＝(α1，α2，α3)，则 QTAQ＝[*] 作正交变换X＝QY，则f化为Y的二次型f＝2y12＋2y22． (3)f(X)＝χ12＋χ22＋2χ32＋2χ1χ2＝(χ1＋χ2)2＋2χ32． 于是f(χ1，χ2，χ3)＝0[*] 求得通解为：[*]，c任意．
解析
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考研数学一

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