(96年)设A=I一ξξT，其中I是n阶单位矩阵，ξ是n维非零列向量，ξT是ξ的转置．证明： (1)A2=A的充要条件是ξTξ=1； (2)当ξTξ=1时，A是不可逆矩阵．

admin2017-04-20 39

问题 (96年)设A=I一ξξ^T，其中I是n阶单位矩阵，ξ是n维非零列向量，ξ^T是ξ的转置．证明：
(1)A²=A的充要条件是ξ^Tξ=1；
(2)当ξ^Tξ=1时，A是不可逆矩阵．

选项

答案(1)A²=(I一ξξ^T)(I一ξξ^T)=I一2ξξ^T+ξξ^Tξξ^T =I一2ξξ^T+ξ(ξ^Tξ)ξ^T=I一2ξξ^T+(ξ^Tξ)ξξ^T =I一(2一ξ^Tξ)ξξ^T A²=A即I一(

解析

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