2. 考研
  3. 已知二维随机变量(X，Y)的概率分布为 又P{X=1}=0．5，且X与Y不相关． (Ⅰ)求未知参数a，b，c； (Ⅱ)事件A={X=1}与B={max(X，Y)=1}是否独立，为什么? (Ⅲ)随机变量X+Y与X-Y是否相关，是否独立?

已知二维随机变量(X，Y)的概率分布为 又P{X=1}=0．5，且X与Y不相关． (Ⅰ)求未知参数a，b，c； (Ⅱ)事件A={X=1}与B={max(X，Y)=1}是否独立，为什么? (Ⅲ)随机变量X+Y与X-Y是否相关，是否独立?

admin2019-08-06  112
问题 已知二维随机变量(X，Y)的概率分布为

又P{X=1}=0．5，且X与Y不相关．
  (Ⅰ)求未知参数a，b，c；
  (Ⅱ)事件A={X=1}与B={max(X，Y)=1}是否独立，为什么?
  (Ⅲ)随机变量X+Y与X-Y是否相关，是否独立?
选项
答案(Ⅰ)应用联合分布、边缘分布关系及X与Y不相关求参数a、b、c． 由于P{X=1}=0．5，故P{X=-1}=0．5，a=0．5-0．1-0．1=0．3． 又X与Y不相关[*] E(XY)=EX.EY，其中EX=(-1)×0．5+1×0．5=0． XY可能取值为-1，0，1，且 P{XY=-1}=P{X=-1，Y=1}+P{X=1，Y=-1}=0．1+b， P{XY=1}=P{X=1，Y=1}+P{X=-1，Y=-1}=0．1+c， P{XY=0}=P{X=-1，Y=0}+P{X=1，Y=0}=a+0．1， 所以E(XY)=-0．1-b+0．1+c=c-b，由E(XY)=EXEY=0 [*] c-b=0，b=c，又b+0．1+c=0．5，所以b=c=0．2． (Ⅱ)由于A={X=1}[*] B={max(X，Y)=1}，P(AB)=P(A)=0．5，0＜P(B)＜1，又P(A)P(B)=0．5P(B)＜0．5=P(AB)，即P(AB)≠P(A)P(B)，所以A与B不独立． (Ⅲ)因为Cov(X+Y，X-Y)=Cov(X，X)-Cov(X，Y)+Cov(Y，X)-Cov(Y，Y)=DX-DY， DX=EX2-(EX)2=1，EY=0，DY=EY2-(EY)2=0．6， 所以Cov(X+Y，X-Y)=1-0．6=0．4≠0，X+Y与X-Y相关[*] X+Y与X-Y不独立．
解析
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考研数学三

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