2. 考研
  3. 设z＝z(χ，y)是由9χ2－54χy＋90y2－6yz－z2＋18＝0确定的函数， (Ⅰ)求z＝z(χ，y)一阶偏导数与驻点； (Ⅱ)求z＝z(χ，y)的极值点和极值．

设z＝z(χ，y)是由9χ2－54χy＋90y2－6yz－z2＋18＝0确定的函数， (Ⅰ)求z＝z(χ，y)一阶偏导数与驻点； (Ⅱ)求z＝z(χ，y)的极值点和极值．

admin2022-04-08  31
问题 设z＝z(χ，y)是由9χ2－54χy＋90y2－6yz－z2＋18＝0确定的函数，
    (Ⅰ)求z＝z(χ，y)一阶偏导数与驻点；
    (Ⅱ)求z＝z(χ，y)的极值点和极值．
选项
答案(Ⅰ)利用一阶全微分形式不变性，将方程求全微分即得 18χdχ－54(ydχ＋χdy)＋180ydy－6zdy－6ydz一2zdz＝0， 即(18χ－54y)dχ＋(180y－54χ－6z)dy－(6y＋2z)dz＝0． 从而[*] 为求隐函数z＝z(χ，y)的驻点，应解方程组 [*] ②可化简为χ＝3y，由③可得z＝30y－9χ＝3y，代入①可解得两个驻点χ＝3，y＝1，z＝3与z＝－3，y＝－1，z＝－3． (Ⅱ)z＝z(χ，y)的极值点必是它的驻点．为判定z＝z(χ，y)在两个驻点处是否取得极值， 还需求z＝z(χ，y)在这两点的二阶偏导数． 注意，在驻点P＝(3，1，3)，Q＝(－3，－1，－3)处，[*]＝0 由(3y＋z)[*]＝9χ－27[*] 则在驻点P，Q处 [*] 再由(3y＋z)[*]=＝90y－27χ－3z[*]在驻点P，Q处 (3y＋z)[*]＝90． 于是可得出在P点处3y＋z＝6， [*] 因AC－B2＝[*]＞0，且A＝[*]＞0，故在点(3，1)处z＝z(χ，y)取得极小值z(3， 1)＝3． 在Q点处3y＋z＝－6． [*] 因AC－B2＝[*]＞0，且A＝－[*]＜0，故在点(－3，－1)处z＝z(χ，y)取得极大值z(－3，－1)＝－3．
解析
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考研数学二

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