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设z=z(χ,y)是由9χ2-54χy+90y2-6yz-z2+18=0确定的函数, (Ⅰ)求z=z(χ,y)一阶偏导数与驻点; (Ⅱ)求z=z(χ,y)的极值点和极值.
设z=z(χ,y)是由9χ2-54χy+90y2-6yz-z2+18=0确定的函数, (Ⅰ)求z=z(χ,y)一阶偏导数与驻点; (Ⅱ)求z=z(χ,y)的极值点和极值.
admin
2022-04-08
55
问题
设z=z(χ,y)是由9χ
2
-54χy+90y
2
-6yz-z
2
+18=0确定的函数,
(Ⅰ)求z=z(χ,y)一阶偏导数与驻点;
(Ⅱ)求z=z(χ,y)的极值点和极值.
选项
答案
(Ⅰ)利用一阶全微分形式不变性,将方程求全微分即得 18χdχ-54(ydχ+χdy)+180ydy-6zdy-6ydz一2zdz=0, 即(18χ-54y)dχ+(180y-54χ-6z)dy-(6y+2z)dz=0. 从而[*] 为求隐函数z=z(χ,y)的驻点,应解方程组 [*] ②可化简为χ=3y,由③可得z=30y-9χ=3y,代入①可解得两个驻点χ=3,y=1,z=3与z=-3,y=-1,z=-3. (Ⅱ)z=z(χ,y)的极值点必是它的驻点.为判定z=z(χ,y)在两个驻点处是否取得极值, 还需求z=z(χ,y)在这两点的二阶偏导数. 注意,在驻点P=(3,1,3),Q=(-3,-1,-3)处,[*]=0 由(3y+z)[*]=9χ-27[*] 则在驻点P,Q处 [*] 再由(3y+z)[*]==90y-27χ-3z[*]在驻点P,Q处 (3y+z)[*]=90. 于是可得出在P点处3y+z=6, [*] 因AC-B
2
=[*]>0,且A=[*]>0,故在点(3,1)处z=z(χ,y)取得极小值z(3, 1)=3. 在Q点处3y+z=-6. [*] 因AC-B
2
=[*]>0,且A=-[*]<0,故在点(-3,-1)处z=z(χ,y)取得极大值z(-3,-1)=-3.
解析
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考研数学二
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