2. 考研
  3. 设f(x)二阶可导，且f(0)＝0，f(1)＝1，． (Ⅰ)证明：存在c∈(0，1)，使得f(c)＝c； (Ⅱ)证明：存在ξ∈(0，1)，使得f"(ξ)＝1f’(ξ)．

设f(x)二阶可导，且f(0)＝0，f(1)＝1，． (Ⅰ)证明：存在c∈(0，1)，使得f(c)＝c； (Ⅱ)证明：存在ξ∈(0，1)，使得f"(ξ)＝1f’(ξ)．

admin2021-03-10  51
问题 设f(x)二阶可导，且f(0)＝0，f(1)＝1，．
    (Ⅰ)证明：存在c∈(0，1)，使得f(c)＝c；
    (Ⅱ)证明：存在ξ∈(0，1)，使得f"(ξ)＝1f’(ξ)．
选项
答案(Ⅰ)由[*]得[*] 令F(x)＝[*]，则F’(x)＝f(x)－x， 因为F(0)＝F(1)＝0，所以存在c∈(0，1)，使得F’(c)＝0，即f(c)＝c． (Ⅱ)令h(x)＝f(x)－x，显然h(0)＝h(c)＝h(1)＝0， 由罗尔定理，存在ξ1∈(0，c)，ξ2∈(c，1)，使得h’(ξ1)＝h’(ξ2)＝0，而h’(x)＝f’(x)－1，故f’(ξ1)＝f’(ξ2)＝1． 令[*](x)＝ex[f’(x)－1]，[*](ξ1)＝[*](ξ2)＝0， 存在ξ∈(ξ1，ξ2)[*](0，1)，使得[*](ξ)＝0， 而[*](x)＝ex[f"(x)＋f’(x)－1]且ex≠0，故f"(ξ)＝1－f’(ξ)．
解析
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考研数学二

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