设矩阵A=的特征方程有一个二重根，求a的值。并讨论A是否可相似对角化。

admin2019-08-01 65

问题设矩阵A=

的特征方程有一个二重根，求a的值。并讨论A是否可相似对角化。

选项

答案A的特征多项式为 [*] 若λ=2是特征方程的二重根时，有2²一16+18+3a=0，解得a=一2。当a=一2时，A的特征值为2，2，6，矩阵2E一A=[*]的秩为1，故λ=2对应的线性无关的特征向量有两个，因此A可相似对角化。若λ=2不是特征方程的二重根，则λ²一8λ+18+3a为完全平方式，从而18+3a=16，解得 a=[*]。当a=[*]时，A的特征值为2，4，4，矩阵4E—A=[*]秩为2，故λ=4对应的线性无关的特征向量只有一个，因此A不可相似对角化。

解析

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