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求二元函数z=f(x,y)=x2y(4一x一y)在由直线x+y=6,x轴和y轴所围成的闭合区域D上的极值、最大值与最小值.
求二元函数z=f(x,y)=x2y(4一x一y)在由直线x+y=6,x轴和y轴所围成的闭合区域D上的极值、最大值与最小值.
admin
2019-05-11
73
问题
求二元函数z=f(x,y)=x
2
y(4一x一y)在由直线x+y=6,x轴和y轴所围成的闭合区域D上的极值、最大值与最小值.
选项
答案
由方程组[*]得线段x=0(0≤y≤6)及点(4,0),(2,1).而点(4,0)及线段x=0(0≤y≤6)在D的边界上,只有点(2,1)在D内部,可能是极值点。 f"
xx
=8y一6xy一2y
2
,f"
xy
=8x一3x
2
一4xy,f"
yy
=一2x
2
. 在点(2,1)处, A=[*]=一8,B
2
一AC=一32<0,且A<0,因此点(2,1)是z=f(x,y)的极大值点,极大值f(2,1)=4. 在D的边界x=0(0≤y≤6)及y=0(0≤x≤6)上,f(x,y)=0.在边界x+y=6上,y=6一x. 代入f(x,y)中得,z=2x
3
一12x
2
(0≤x≤6). 由z’=6x
2
一24x=0得x=0,x=4.在边界x+y=6上对应x=0,4,6处z的值分别为: z|
x=0
=2x
3
—12x
2
|
x=0
=0,z|
x=4
=2x
3
—12x
2
|
x=4
=一64,z|
x=6
=2x
3
一12x
2
|
x=6
=0. 因此知z=f(x,y)在边界上的最大值为0,最小值为f(4,2)=一64. 将边界上最大值和最小值与驻点(2,1)处的值比较得,z=f(x,y)在闭区域D上的最大值为f(2,1)=4,最小值为f(4,2)=一64.
解析
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考研数学二
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