设f(x)具有连续导数，且F(x)=∫0x(x2－t2)f’(t)dt，若当x→0时F’(x)与x2为等价无穷小，则f’(0)=_______．

admin2018-07-22 24

问题设f(x)具有连续导数，且F(x)=∫₀^x(x²－t²)f’(t)dt，若当x→0时F’(x)与x²为等价无穷小，则f’(0)=_______．

选项

答案1╱2

解析由于
F(x)=∫₀^x(x²－t²)f’(t)dt=x²∫f’(t)dt－∫₀^xt²f’(t)dt，
所以F’(x)=2x∫₀^xf’(t)dt+x²f’(x)－x²f’(x)=2x∫₀^xf’(t)dt．
又依题设，当x→0时F’(x)与x²为等价无穷小，从而

=2f’(0)=1，故f’(0)=1／2．

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考研数学一

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