设Q(x，y)在Dxy平面有一阶连续偏导数，积分∫L2xydx+Q(x，y)dy与路径无关．t 恒有2xydx+Q(x，y)dy， (*) 求Q(x，y)．

admin2016-10-26 72

问题设Q(x，y)在Dxy平面有一阶连续偏导数，积分∫_L2xydx+Q(x，y)dy与路径无关．

t
恒有

2xydx+Q(x，y)dy， (*)
求Q(x，y)．

选项

答案首先由单连通区域上曲线与路径无关的充要条件得[*](2xy)=2x．对x积分得Q(x，y)=x²+φ(y)，下面由(*)定出φ(y)，为此就要求(*)中的曲线积分，得到φ(y)满足的关系式，再求φ(y)．通过求原函数计算积分： 2xydx+[x²+φ(y)]dy=d[x²y+[*]φ(s)ds]．由(*)式，得[x²y+[*] 即t²+[*] 求导得 2t=1+φ(t) ([*]t)，即 φ(t)=2t－1，易验证它满足上式．因此 Q(x，y)=z²+φ(y)=x²+2y－1．

解析

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考研数学一

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