设A为n阶矩阵，α为n维列向量，若存在正整数m，使得Am-1α≠0，Amα=0(规定A0为单位矩阵)，证明向量组α，Aα，…，Am-1α线性无关．

admin2021-02-25 53

问题设A为n阶矩阵，α为n维列向量，若存在正整数m，使得A^m-1α≠0，A^mα=0(规定A⁰为单位矩阵)，证明向量组α，Aα，…，A^m-1α线性无关．

选项

答案证法1：设有一组数k₀，k₁，…，k_m-1使 k₀α，k₁Aα，…，k_m-1A^m-1α=0， (1) 用A^m-1左乘(1)式两边，得 k₁A^m-1α=0，又A^m-1α≠0，故k₀=0．从而(1)式变为 k₁Aα+…+k_m-1A^m-1α=0， (2) 再用A^m-2左乘(2)式两边得k₁A^m-1α=0，又A^m-1α≠0，故k₁=0．以此类推，可得k₀=0，k₁=0，…，k_m-1=0，从而α，Aα，…，A^m-1α线性无关．证法2：反证法，设α，Aα，…，A^m-1α线性相关，则存在一组不全为零的数k₀，k₁，…，k_m-1，使 k₀α+k₁Aα+…+k_m-1A^m-1α=0，设从左起第一个不为零的数为k_i，上式变为 k_iAⁱα+k_i+1Aⁱ⁺¹α+…+k_m-1A^m-1α=0．由于A^mα=0，用A^m-i-1左乘等式两边得k_iA^m-1α=0．由于k_i≠0，则A^m-1α=0，矛盾，从而α，Aα，…，A^m-1α线性无关．

解析本题考查向量组线性无关的概念，可以用定义证明．根据本题的条件，我们给出的如下证明也是证明向量组线性无关的典型方法．

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考研数学二

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设A为n阶矩阵，α为n维列向量，若存在正整数m，使得Am-1α≠0，Amα=0(规定A0为单位矩阵)，证明向量组α，Aα，…，Am-1α线性无关．

考研数学二

A是三阶矩阵，λ1，λ2，λ3是三个不同的特征值，ξ1，ξ2，ξ3是相应的特征向量．证明：向量组A(ξ1+ξ2)，A(ξ2+ξ3)，A(ξ3+ξ1)线性无关的充要条件是A是可逆矩阵．

设f(χ)在[a，b]上连续且单调增加，证明：∫abχf(χ)dχ≥∫abf(χ)dχ．

对行满秩矩阵Am×n，必有列满秩矩阵Bn×m，使AB=E．

证明：方阵A是正交矩阵的充分必要条件是｜A｜=±1，且若｜A｜=1，则它的每一个元素等于自己的代数余子式，若｜A｜=一1．则它的每个元素等于自己的代数余子式乘一1．

设A是3×4阶矩阵且r(A)＝1，设(1，－2，1，2)T，(1，0，5，2)T，(－1，2，0，1)T，(2，－4，3，a＋1)T皆为AX＝0的解．(1)求常数a；(2)求方程组AX＝0的通解．

已知A是三阶矩阵，αi(i=1，2，3)是三维非零列向量，令α=α1+α2+α3。若Aαi=iαi(i=1，2，3)，证明：α，Aα，A2α线性无关。

设A为三阶实对称矩阵，A的每行元素之和为5，AX＝0有非零解且λ1＝2是A的特征值，对应特征向量为(－1，0，1)T．(1)求A的其他特征值与特征向量；(2)求A．

设X1，X2分别为A的属于不同特征值λ1，λ2的特征向量．证明：X1+X2不是A的特征向量．

设矩阵，B=P—1AP，求B+2E的特征值与特征向量，其中A为A的伴随矩阵，E为三阶单位矩阵。

“新沐者必弹冠，新浴者必振衣。”句中的“沐”意思是_____。

按照《处方药与非处方药分类管理办法(试行)》，非处方药分为甲、乙两类，是根据药品的

异地安家补助费属于()。

通常Ⅱ形补偿器应（）安装，（）臂应与管线坡度及坡向相同，（）臂应呈水平。

打击是落实社会治安综合治理的关键。（）

设有3维列向量问λ取何值时β可由α1，α2，α3线性表示，且表达式唯一?

ThepurposeoftheauthorinwritingthetextistoManyEuropeanshaveagreatpuzzleinmanythingsEXCEPT

GoalSettingSetan(17)goal.Decideonincentives.(18)stepsalongtheway.Gather(19).Takethe

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设f(χ)在[a，b]上连续且单调增加，证明：∫abχf(χ)dχ≥∫abf(χ)dχ．

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证明：方阵A是正交矩阵的充分必要条件是｜A｜=±1，且若｜A｜=1，则它的每一个元素等于自己的代数余子式，若｜A｜=一1．则它的每个元素等于自己的代数余子式乘一1．

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设X1，X2分别为A的属于不同特征值λ1，λ2的特征向量．证明：X1+X2不是A的特征向量．

设矩阵，B=P—1A*P，求B+2E的特征值与特征向量，其中A*为A的伴随矩阵，E为三阶单位矩阵。

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按照《处方药与非处方药分类管理办法(试行)》，非处方药分为甲、乙两类，是根据药品的

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通常Ⅱ形补偿器应（）安装，（）臂应与管线坡度及坡向相同，（）臂应呈水平。

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