设A为n阶矩阵，α为n维列向量，若存在正整数m，使得Am-1α≠0，Amα=0(规定A0为单位矩阵)，证明向量组α，Aα，…，Am-1α线性无关．

admin2021-02-25 52

问题设A为n阶矩阵，α为n维列向量，若存在正整数m，使得A^m-1α≠0，A^mα=0(规定A⁰为单位矩阵)，证明向量组α，Aα，…，A^m-1α线性无关．

选项

答案证法1：设有一组数k₀，k₁，…，k_m-1使 k₀α，k₁Aα，…，k_m-1A^m-1α=0， (1) 用A^m-1左乘(1)式两边，得 k₁A^m-1α=0，又A^m-1α≠0，故k₀=0．从而(1)式变为 k₁Aα+…+k_m-1A^m-1α=0， (2) 再用A^m-2左乘(2)式两边得k₁A^m-1α=0，又A^m-1α≠0，故k₁=0．以此类推，可得k₀=0，k₁=0，…，k_m-1=0，从而α，Aα，…，A^m-1α线性无关．证法2：反证法，设α，Aα，…，A^m-1α线性相关，则存在一组不全为零的数k₀，k₁，…，k_m-1，使 k₀α+k₁Aα+…+k_m-1A^m-1α=0，设从左起第一个不为零的数为k_i，上式变为 k_iAⁱα+k_i+1Aⁱ⁺¹α+…+k_m-1A^m-1α=0．由于A^mα=0，用A^m-i-1左乘等式两边得k_iA^m-1α=0．由于k_i≠0，则A^m-1α=0，矛盾，从而α，Aα，…，A^m-1α线性无关．

解析本题考查向量组线性无关的概念，可以用定义证明．根据本题的条件，我们给出的如下证明也是证明向量组线性无关的典型方法．

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考研数学二

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设A为n阶矩阵，α为n维列向量，若存在正整数m，使得Am-1α≠0，Amα=0(规定A0为单位矩阵)，证明向量组α，Aα，…，Am-1α线性无关．

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已知r(a1，a2，a3)=2，r(a2，a3，a4)=3，证明：a1能由a2，a3线性表示；

设0＜k＜1，f(x)=kx一arctanx．证明：f(x)在(0，+∞)中有唯一的零点，即存在唯一的x0∈(0，+∞)，使f(x0)=0．

A是三阶矩阵，λ1，λ2，λ3是三个不同的特征值，ξ1，ξ2，ξ3是相应的特征向量．证明：向量组A(ξ1+ξ2)，A(ξ2+ξ3)，A(ξ3+ξ1)线性无关的充要条件是A是可逆矩阵．

已知三元二次型XTAX经正交变换化为2y12一y22一y32，又知矩阵B满足矩阵方程其中α=[1，1，一1]T，A*为A的伴随矩阵,求二次型XTBX的表达式．

已知A是三阶矩阵，αi(i=1，2，3)是三维非零列向量，令α=α1+α2+α3。若Aαi=iαi(i=1，2，3)，证明：α，Aα，A2α线性无关。

设四阶矩阵B满足，求矩阵B．

已知A是n阶对称矩阵，B是n阶反对称矩阵，证明A—B2是对称矩阵。

设矩阵，B=P—1AP，求B+2E的特征值与特征向量，其中A为A的伴随矩阵，E为三阶单位矩阵。

设A=，B=U-1A*U．求B+2E的特征值和特征向量．

设α1，α2，β1，β2为三维列向量组，且α1，α2与β1，β2都线性无关．(1)证明：至少存在一个非零向量可同时由α1，α2和β1，β2线性表不；(2)设α1=，α2=，β1=，β2=，求出可由两组向量同时线性表示的向量．

下列机构中，适用行政单位会计制度的有()

魔幻现实主义代表作《百年孤独》的作者是______。()

组成药物中含有人参、甘草、大枣的方剂是

期货交易所会员结算准备金最低余额由会员以自有资金向期货交易所缴纳。()

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与普通合伙制企业相比，下列各项中，属于公司制企业特点的是()。

下列情形中，纳税人可自行开具增值税专用发票的有()。

证据必须查证确认，才能作为认定事实的根据。()

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