设A为n阶矩阵，α为n维列向量，若存在正整数m，使得Am-1α≠0，Amα=0(规定A0为单位矩阵)，证明向量组α，Aα，…，Am-1α线性无关．

admin2021-02-25 76

问题设A为n阶矩阵，α为n维列向量，若存在正整数m，使得A^m-1α≠0，A^mα=0(规定A⁰为单位矩阵)，证明向量组α，Aα，…，A^m-1α线性无关．

选项

答案证法1：设有一组数k₀，k₁，…，k_m-1使 k₀α，k₁Aα，…，k_m-1A^m-1α=0， (1) 用A^m-1左乘(1)式两边，得 k₁A^m-1α=0，又A^m-1α≠0，故k₀=0．从而(1)式变为 k₁Aα+…+k_m-1A^m-1α=0， (2) 再用A^m-2左乘(2)式两边得k₁A^m-1α=0，又A^m-1α≠0，故k₁=0．以此类推，可得k₀=0，k₁=0，…，k_m-1=0，从而α，Aα，…，A^m-1α线性无关．证法2：反证法，设α，Aα，…，A^m-1α线性相关，则存在一组不全为零的数k₀，k₁，…，k_m-1，使 k₀α+k₁Aα+…+k_m-1A^m-1α=0，设从左起第一个不为零的数为k_i，上式变为 k_iAⁱα+k_i+1Aⁱ⁺¹α+…+k_m-1A^m-1α=0．由于A^mα=0，用A^m-i-1左乘等式两边得k_iA^m-1α=0．由于k_i≠0，则A^m-1α=0，矛盾，从而α，Aα，…，A^m-1α线性无关．

解析本题考查向量组线性无关的概念，可以用定义证明．根据本题的条件，我们给出的如下证明也是证明向量组线性无关的典型方法．

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考研数学二

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设A为n阶矩阵，α为n维列向量，若存在正整数m，使得Am-1α≠0，Amα=0(规定A0为单位矩阵)，证明向量组α，Aα，…，Am-1α线性无关．

考研数学二

已知r(a1，a2，a3)=2，r(a2，a3，a4)=3，证明：a1能由a2，a3线性表示；

已知f(x)是周期为5的连续函数，它在x=0的某个邻域内满足关系式f(1+sinx)一3f(1-sinx)=8x+α(x)，其中α(x)是当x→0时比x高阶的无穷小量，且f(x)在x=1处可导，求曲线y=f(x)在点(6，f(6))处的切线方程

已知三元二次型XTAX经正交变换化为2y12一y22一y32，又知矩阵B满足矩阵方程其中α=[1，1，一1]T，A*为A的伴随矩阵,求二次型XTBX的表达式．

证明：方阵A是正交矩阵的充分必要条件是｜A｜=±1，且若｜A｜=1，则它的每一个元素等于自己的代数余子式，若｜A｜=一1．则它的每个元素等于自己的代数余子式乘一1．

设A是3×4阶矩阵且r(A)＝1，设(1，－2，1，2)T，(1，0，5，2)T，(－1，2，0，1)T，(2，－4，3，a＋1)T皆为AX＝0的解．(1)求常数a；(2)求方程组AX＝0的通解．

设向量组α1=(1，0，1)T，α2=(0，1，1)T，α3=(1，3，5)T不能由向量组β1=(1，1，1)T，β2=(1，2，3)T，β3=(3，4，a)T线性表示。求a的值；

设A=(α1，α2，α3，α4，α5)，其中α1，α3，α5线性无关，且α2=3α1-α3-α5，α4=2α1+α3+6α5，求方程组AX=0的通解．

设α1，α2，β1，β2为三维列向量组，且α1，α2与β1，β2都线性无关．(1)证明：至少存在一个非零向量可同时由α1，α2和β1，β2线性表不；(2)设α1=，α2=，β1=，β2=，求出可由两组向量同时线性表示的向量．

硫酸镁中毒最有效的抢救药物是：

血尿、高血压可见于选择性蛋白尿

鉴别缩窄性心包炎与限制性心肌病最佳的影像方法是

关于二审抗诉程序，下列哪些选项是正确的?(　　　)

金融租赁公司是指经银监会批准，以从事经营租赁业务为主的非银行金融机构。()

壮族最隆重的民俗节日活动是()。

[*]=-cotxlnsinx+∫(csc2x一1)dx=一cotxlnsinx—cotx—x+C．

Changingfashionsarcnothingmorethantheintentionalcreationofwaste.

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证明：方阵A是正交矩阵的充分必要条件是｜A｜=±1，且若｜A｜=1，则它的每一个元素等于自己的代数余子式，若｜A｜=一1．则它的每个元素等于自己的代数余子式乘一1．

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设向量组α1=(1，0，1)T，α2=(0，1，1)T，α3=(1，3，5)T不能由向量组β1=(1，1，1)T，β2=(1，2，3)T，β3=(3，4，a)T线性表示。求a的值；

设A=(α1，α2，α3，α4，α5)，其中α1，α3，α5线性无关，且α2=3α1-α3-α5，α4=2α1+α3+6α5，求方程组AX=0的通解．

设α1，α2，β1，β2为三维列向量组，且α1，α2与β1，β2都线性无关．(1)证明：至少存在一个非零向量可同时由α1，α2和β1，β2线性表不；(2)设α1=，α2=，β1=，β2=，求出可由两组向量同时线性表示的向量．

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