设二次型 f(x1,x2,x3)=xTAx=ax21+2x22-2x23+2bx1x3(b>0), 其中二次型的矩阵A的特征值之和为1,特征值之积为-12. 求a,b的值;

admin2021-02-25  55

问题 设二次型
    f(x1,x2,x3)=xTAx=ax21+2x22-2x23+2bx1x3(b>0),
其中二次型的矩阵A的特征值之和为1,特征值之积为-12.
求a,b的值;

选项

答案二次型f的矩阵为 [*] 设A的特征值为λi=(i=1,2,3).由题设,有 λ123=a+2+(-2)=1, [*] 解得a=1,b=2.

解析 本题主要考查用正交变换化二次型为标准形的方法,特征值与特征向量的计算与性质.首先写出二次型f的矩阵A,利用特征值与行列式、迹之间的关系,求出a,b的值.此时该题成为一道常规题了.
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