2. 考研
  3. 已知A是3阶实对称矩阵，α1=(1，-1，-1)T，α2=(-2，1，0)T是齐次线性方程组Ax=0的解，又(A-6E)α=0，α≠0． 求α和二次型xTAx的表达式；

已知A是3阶实对称矩阵，α1=(1，-1，-1)T，α2=(-2，1，0)T是齐次线性方程组Ax=0的解，又(A-6E)α=0，α≠0． 求α和二次型xTAx的表达式；

admin2021-02-25  113
问题 已知A是3阶实对称矩阵，α1=(1，-1，-1)T，α2=(-2，1，0)T是齐次线性方程组Ax=0的解，又(A-6E)α=0，α≠0．
求α和二次型xTAx的表达式；
选项
答案由Aα1=0=0α1，Aα2=0=0α2，知λ1=λ2=0是矩阵A的特征值，α1，α2是矩阵A的属于特征值0的线性无关的特征向量．由已知Aα=6α，且α≠0，所以λ3=6是A的特征值，设α=(x1，x2，x3)T，由于实对称矩阵不同的特征值对应的特征向量正交，于是 [*] 解得λ3=6的一个特征向量为α=(1，2，-1)T． 由A(α1，α2，α)=(0，0，6α)，得 [*] 故 f=xTAx=x21+4x22+x23+4x1x2-2x1x3-4x2x3．
解析 本题考查用正交变换化二次型为标准形的逆问题．
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考研数学二

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