设n是正整数，记Sn为y=e—xsinx(0≤x≤nπ)与x轴所围图形的面积，求Sn，并求

admin2019-04-17 72

问题设n是正整数，记S_n为y=e^—xsinx(0≤x≤nπ)与x轴所围图形的面积，求S_n，并求

选项

答案设区间[kπ，(k+1)，π](k=0，1，2，…，n—1)上所围的面积记为u_k，则 u_k=∫_kπ^(k+1)πe^—x｜sinx｜dx=(—1)^k∫_kπ^(k+1)πe^—xsinxdx 记I=∫e^—xsinxdx，则 I= —∫e^—xdcosx= —(e^—xcosx—∫cosxde^—x) = —e^—xcosx—∫e^—xdsinx= —e^—xcosx—(e^—xsinx—∫sinxde^—x) = —e^—x(cosx+sinx)—I 所以I=[*]e^—x(cosx+sinx)+C；因此u_k=[*] (这里需要注意coskπ=(—1)^k) [*]

解析

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