2. 考研
  3. 设Q(x，y)在Oxy平面有一阶连续偏导数，积分∫L2xydx+Q(x，y)dy与路径无关．恒有 ∫(0,0)(t,1)2xydx+Q(x，y)dy=∫(0,0)(1,t)2xydx+Q(x，y)dy， (*) 求Q(x，y)．

设Q(x，y)在Oxy平面有一阶连续偏导数，积分∫L2xydx+Q(x，y)dy与路径无关．恒有 ∫(0,0)(t,1)2xydx+Q(x，y)dy=∫(0,0)(1,t)2xydx+Q(x，y)dy， (*) 求Q(x，y)．

admin2017-07-28  106
问题 设Q(x，y)在Oxy平面有一阶连续偏导数，积分∫L2xydx+Q(x，y)dy与路径无关．恒有
    ∫(0,0)(t,1)2xydx+Q(x，y)dy=∫(0,0)(1,t)2xydx+Q(x，y)dy，    (*)
求Q(x，y)．
选项
答案首先由单连通区域上曲线与路径无关的充要条件得[*]=2x．对x积分得Q(x，y)=x2+φ(y)，下面由(*)定出φ(y)，为此就要求(*)中的曲线积分，得到φ(y)满足的关系式，再求φ(y)．通过求原函数计算积分： 2xydx+[x2+φ(y)]dy=d[x2y+∫0yφ(s)ds]? 由(*)式，得[x2y+∫0yφ(s)ds]|(0,0)(t,1)=[x2y+∫0yφ(s)ds]|(0,0)(1,t)， 即 t2+∫01φ(s)ds=t+∫0tφ(s)ds [*]． 求导得 2t=1+φ(t) [*]，即 φ(t)=2t一1，易验证它满足上式． 因此 Q(x，y)=x2+φ(y)=x2+2y一1．
解析
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考研数学一

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