[2013年] 矩阵相似的充分必要条件为( )．

admin2021-01-19 28

问题 [2013年] 矩阵

相似的充分必要条件为( )．

选项 A、a=0，b=2
B、a=0，b为任意常数
C、a=2，b=0
D、a=2，b为任意常数

答案B

解析所给矩阵为两实对称矩阵，它们相似的充分必要条件是有相同的特征值．
已知一矩阵的特征值为2，b，0，可由2，b，0也可为另一矩阵的特征值来确定a，b的取值范围．
令

，则
∣λE—A∣=

=λ[λ²一(b+2)λ+2b—2a²]，
∣λE—B∣=

=λ(λ—2)(λ—b)．
因λ=2为B的特征值，故λ=2也必为A的特征值，则
∣2E一A∣=2[2²一(b+2)·2+2b—2a²]=2(一2a²)=0，
故a=0．由λ=b为B的特征值知，λ=b也必为A的特征值，则∣bE—A∣=b[b²一(b+2)b+2b]=b·0=0，
即b可为任意常数．仅(B)入选．

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