设α1，α2，β1，β2均是三维向量，且α1，α2线性无关，β1，β2线性无关，证明存在非零向量γ，使得γ既可由α1，α2线性表出，又可由β1，β2线性表出。当α1=，α2=，β1=，β2=时，求出所有的向量γ。

admin2018-01-26 48

问题设α₁，α₂，β₁，β₂均是三维向量，且α₁，α₂线性无关，β₁，β₂线性无关，证明存在非零向量γ，使得γ既可由α₁，α₂线性表出，又可由β₁，β₂线性表出。
当α₁=

，α₂=

，β₁=

，β₂=

时，求出所有的向量γ。

选项

答案四个三维向量α₁，α₂，β₁，β₂必线性相关，故有不全为零的数k₁，k₂，l₁，l₂，使得 k₁α₁+k₂α₂+l₁β₁+l₂β₂=0。令γ=k₁α₁+k₂α₂=-l₁β₁-l₂β₂，则必有k₁，k₂不全为零。否则，若k₁=k₂=0，由k₁，k₂，l₁，l₂不全为零知，l₁，l₂不全为零，从而-l₁β₁-l₁β₂=0，这与β₁，β₂线性无关相矛盾，所以k₁，k₂不全为0。同理l₁，l₂亦不全为0。从而γ≠0，且它既可由α₁，α₂线性表出，又可由β₁，β₂线性表出。对已知的α₁，α₂，β₁，β₂，设x₁α₁+x₂α₂+y₁β₁+y₂β₂=0，对α₁，α₂，β₁，β₂组成的矩阵作初等行变换，有 [*] 于是得方程组的通解为k(0，-3，-2，1)^T，即 x₁=0，x₂=-3k，y₁=-2k，y₂=k，所以 γ=-3kα₂=[*]，l为任意常数。

解析

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考研数学一

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设α1，α2，β1，β2均是三维向量，且α1，α2线性无关，β1，β2线性无关，证明存在非零向量γ，使得γ既可由α1，α2线性表出，又可由β1，β2线性表出。当α1=，α2=，β1=，β2=时，求出所有的向量γ。

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