设α1，α2，β1，β2均是三维向量，且α1，α2线性无关，β1，β2线性无关，证明存在非零向量γ，使得γ既可由α1，α2线性表出，又可由β1，β2线性表出。当α1=，α2=，β1=，β2=时，求出所有的向量γ。

admin2018-01-26 37

问题设α₁，α₂，β₁，β₂均是三维向量，且α₁，α₂线性无关，β₁，β₂线性无关，证明存在非零向量γ，使得γ既可由α₁，α₂线性表出，又可由β₁，β₂线性表出。
当α₁=

，α₂=

，β₁=

，β₂=

时，求出所有的向量γ。

选项

答案四个三维向量α₁，α₂，β₁，β₂必线性相关，故有不全为零的数k₁，k₂，l₁，l₂，使得 k₁α₁+k₂α₂+l₁β₁+l₂β₂=0。令γ=k₁α₁+k₂α₂=-l₁β₁-l₂β₂，则必有k₁，k₂不全为零。否则，若k₁=k₂=0，由k₁，k₂，l₁，l₂不全为零知，l₁，l₂不全为零，从而-l₁β₁-l₁β₂=0，这与β₁，β₂线性无关相矛盾，所以k₁，k₂不全为0。同理l₁，l₂亦不全为0。从而γ≠0，且它既可由α₁，α₂线性表出，又可由β₁，β₂线性表出。对已知的α₁，α₂，β₁，β₂，设x₁α₁+x₂α₂+y₁β₁+y₂β₂=0，对α₁，α₂，β₁，β₂组成的矩阵作初等行变换，有 [*] 于是得方程组的通解为k(0，-3，-2，1)^T，即 x₁=0，x₂=-3k，y₁=-2k，y₂=k，所以 γ=-3kα₂=[*]，l为任意常数。

解析

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考研数学一

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设α1，α2，β1，β2均是三维向量，且α1，α2线性无关，β1，β2线性无关，证明存在非零向量γ，使得γ既可由α1，α2线性表出，又可由β1，β2线性表出。当α1=，α2=，β1=，β2=时，求出所有的向量γ。

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(x)在[a，b]上连续可导，且f(a)＝f(b)＝0．证明：

设f(x)在[0，1]上连续，且0＜m≤f(x)≤M，对任意的x∈[0，1]，证明：

设，求a，b的值．

已知，求a，b的值．

求微分方程xy’+y=xex满足y(1)=1的特解．

设B是秩为2的5×4矩阵，α1=[1，1，2，3]T，α2=[一1，1，4，一1]T，α3=[5，一1，一8，9]T是齐次线性方程组Bx=0的解向量，求Bx=0的解空间的一个标准正交基．

设矩阵有三个线性无关特征向量，λ=2是A的二重特征值，试求可逆阵P使得P-1AP=A，A是对角阵．

设z=z(u，v)具有二阶连续偏导数，且z=z(x一2y，x+3y)满足求z=z(u，v)的一般表达式．

已知线性方程组方程组有解时，求出方程组的全部解．

已知线性方程组(I)及线性方程组(Ⅱ)的基础解系ξ1=[一3，7，2，0]T，ξ2=[一1，一2，0，1]T．求方程组(I)和(Ⅱ)的公共解．

气体做等压膨胀，则()。

下列有关建设项目财务分析中营业收入估算的表述中，正确的是()。

复式记账法的基本理论依据是()。

下列各项中，属于政府采购对象范围的有()。

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简述学校情境中成就动机的构成。

设=0，试确定常数a，b的值．

AUNESCOWorldCulturalHeritageSite,theTerracottaWarriorsandHorsesMuseumistheincrediblelegacyofthefirstemperoro

InthemonthofSeptember,inBritain,youmayseelargenumbersofbirds【C1】______onroofsandtelegraphwires.Thesebirdsar

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